21广义特征值与极大极小原理.doc

第二十一讲 广义特征值与极小极大原理 广义特征值问题 1、定义：设A、B为n阶方阵，若存在数，使得方程存在非零解，则称为A相对于B的广义特征值，x为A相对于B的属于广义特征值的特征向量。 是标准特征值问题的推广，当B＝I（单位矩阵）时，广义特征值问题退化为标准特征值问题。 特征向量是非零的 广义特征值的求解 或者 特征方程 求得后代回原方程可求出x 本课程进一步考虑A、B厄米且为正定矩阵的情况。 2、等价表述 B正定，存在 ，广义特征值问题化为了标准特征值问题，但一般来说，一般不再是厄米矩阵。 B厄米，存在Cholesky分解，，G满秩 令 则 也成为标准特征值问题。 为厄米矩阵，广义特征值是实数，可以按大小顺序排列，一定存在一组正交归一的特征向量，即存在满足 还原为 (i=1,2,,n)，则 （带权正交） 瑞利商 A、B为n阶厄米矩阵，且B正定，称为A相对于B的瑞利商。 线性无关，所以，，存在，使得 ● 证明： k为非零常数 可取， （闭区域） 当或时， 另一方面， [证毕] 当B＝I时，标准特征值问题 （） 则 进一步分析可得 定理1.设 ,则 这一结果不便于应用，希望对上述结果进行改造，改造成不依赖于的一种表达方式。 和的情况均对应于x在（n-1）维的子空间内变动，x在L中变动是在一个(s-r+1)维子空间中变化。 一般的，x在的(n-1)维子空间中变动时， 即，对于不同的，的最小值及最大值有可能不同，其中各个最小值中最大者为，各个最大值中的最小者为 定理2. 设是的一个k维子空间，则 以上两式称为广义特征值的极小极大原理。 B＝I时，标准特征值问题同样存在上述关系。 矩阵奇异值问题： （非零）