7机械振动习题思考题.doc

习题7 7-1．原长为的弹簧，上端固定，下端挂一质量为的物体，当物体静止时，弹簧长为．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8） 解：振动方程：在本题中，，所以； 。 取竖直向下为正向弹簧长为0.1m时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m， 当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。 所以： 即。 7-2．有一单摆，摆长，小球质量时，小球正好经过处，并以角速度向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g取9.8） 解：振动方程： 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。 （1）角频率：， 频率： ， 周期：（2），∴ 根据初始条件时： 可解得： 所以得到振动方程： 7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方处求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方处的速度大小。 解：（1）由题知2A=10cm，所以A=5m，选弹簧原长下方5m处； ，知，∴ ， 振动频率； （2）物体在初始位置下方处，对应着是x=3m的位置，所以：，由，有：， 而，那么速度的大小为 。 7-4．一质点沿轴作简谐振动，振幅为，周期为。当时位移为，且向轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于，且向轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 解：（1）由题已知 A=12m，T=2 s∴ 又t=0时，，由旋转矢量图，可知： 故振动方程为； （2）将t=0.5 s代入得， ， ， 方向指向坐标原点，即沿x轴负向（3）由题知，某时刻质点位于，且向轴负方向运动质点位置回到平衡位置需要走，： 。 7-5．两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 处，且向左运动时，另一个质点2在 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。 解：由旋转矢量图可知： 当质点1在 处，且向左运动时， 相位为， 而质点2在 处，且向右运动， 相位为。 所以它们的相位差为。 7-6. 质量为的密度计，放在密度为的液体中。已知密度计圆管的直径为。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。 解：平衡位置：当时，平衡点为C处。设此时进入水中的深度为a： 可知浸入水中为a处为平衡位置。 以水面作为坐标原点O，以向上为x轴，质心的位置为x，分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用来表示，所以力， 再令：，可得：可见它是一个简谐振动周期为： 7-7．两小球悬于同样长度l的线上．将第一球沿竖直方向上举到悬点，而将第二球从平衡位置移开，使悬线和竖直线成一微小角度? ，如图．现将二球同时放开，则何者先到达最低位置？ 解：第一球自由落下通过路程l需时间 而第二球返回平衡（即最低）位置需时. ，故第一球先到。 7-8．当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？，，有：， ， （1）当时，由， 有：，， ∴，； （2）当：，。7-9．两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) （1）求合振动的振幅。 （2）求合振动的振动表达式。 解：通过旋转矢量图做最为简单。 初相：，初相：， 表明两者处于反相状态，（反相，） ，∴合成振动振幅 ； 合成振动相位： 合成振动方程： 7-10．两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为，与第一个振动的位相差为。若第一个振动的振幅为。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？解：图由图知 =0.01 m∴A２=0.1 m，有： ，∴。 说明A１与A２间夹角为π/2，即振动的位相差为π/27-11．一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为，经过后，振幅变为。问：由振幅为时起，经多长时间其振幅减为？ 解：根据阻尼振动的特征，振幅。 ∵，时，，可得：； 那么当振幅减为， 两边取对数，有：，∴。7-12．某弹簧振子在真空中自由振动的周期为，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经过每个周期振幅降为原来的90%，求求振子在水中的振动周期 （2）如果开始时振幅厘米，阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路程为多少？ 解： 又阻尼振动的圆频率： 即 即 从本题解中可知阻尼因子对振幅的影响是比较大的，而对振动的周期影响却很小，有时甚至可以忽略不计。 （2）在整个阻尼振动过程中，振子所经过的路程可近似地表示为： 7-13．试画出和的李萨如图形。解：∵，∴ 又∵，可参考书上的图形。 7