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算术平均数与几何平均数（1） 教学目的： 1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理. 2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等. 3．通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力. 教学重点：均值定理证明 教学难点：等号成立条件 教学过程： 一、复习引入：不等式的基本性质. 二、讲解新课： 1．重要不等式： 如果 2．定理：如果a,b是正数，那么 说明：）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数. ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件. 3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”. 以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么，即 这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立. 三、讲解范例： 例1 已知x,y都是正数，求证： （1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值 （2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件： ⅰ）函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数； ⅲ）等号成立条件必须存在. 例2 已知：ab0，求证：. 当且当a=b时等号成立. 反思：由本例可以得出什么结论？ 例3 已知a,b都是正数，求证 当且当a=b时等号成立. （介绍n个正数的“调和平均数”、“几何平均数”、“算术平均数”、“平方平均数”的概念及它们的关系） 四、课堂练习： 1.已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 2.已知x、y都是正数，求证：（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 3.求证：（）2≤. 五、作业： (1)“a＋b≥2”是“a∈R＋，b∈R＋”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 (2)设b＞a＞0，且a＋b＝1，则此四个数，2ab，a2＋b2，b中最大的是( ) A.b B.a2＋b2 Ｃ.2ab D. (3)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( ) A.1≤ab≤ B.ab＜1＜ C.ab＜＜1 D. ＜ab＜1 (4)已知a，b∈R＋且a＋b＝4，则下列各式恒成立的是( ) A. B.≥1 Ｃ.≥2 D. (5)若a＞b＞0，则下面不等式正确的是( ) A. B. C. D. (6)若a，b∈R且a≠b，在下列式子中，恒成立的个数为（ ） ①a2＋3ab＞2b2 ②a５＋b５＞a3b2＋a2b3 ③a2＋b2≥2（a－b－1） ④＞2 A.4 B.3 Ｃ.2 D.1 (7)设a，b，c是区间(0，1)内的三个互不相等的实数且p＝logc，q＝，r＝，则p，q，r的大小关系是( ) A.p＞q＞r B.p＜q＜r C.r＜P＜q D.p＜r＜q 算术平均数与几何平均数（2） 教学目的： 1.进一步掌握均值不等式定理； 2.会应用此定理求某些函数的最值； 3.能够解决一些简单的实际问题. 教学重点：均值不等式定理的应用 教学难点：解题中的转化技巧 教学过程： 一、复习引入： 1．重要不等式： （1）如果 （2）如果a,b都是正数，那么 当且当a=b时等号成立. 2.上课时中“例1”的条件、结论及注意事项. 二、讲解新课： 定理：如果，那么（当且仅当a=b=c时取“=”） 推论：如果，那么 （当且仅当a=b=c时取“=”） 三、例题 例1已知a,b,c,d都是正数，求证： 例2 求下列函数的最小值，并求相应的x 值. 例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 四、课堂练习： 1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋的值最小?最小值是多少? 2.一段长为Ｌ m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 四、作业： (1)求函数y＝2x2＋（x＞0）