线性代数解题路.doc

《线性代数》复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 　（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； 　（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n=3）行列式的计算：降阶法 　定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 　方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： 　Ⅰ　行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ　行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ　行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ　奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 　1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 　2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 　3．矩阵的秩 （1）定义　非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法　　一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 　4．逆矩阵 　（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； 　（2）性质：　(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A)^-1=(A^-1)；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序） 　（3）可逆的条件： 　??①　|A|≠0；　②r(A)=n;??③A-I; （4）逆的求解 伴随矩阵法　A^-1=(1/|A|)A*；(A*?? ?A的伴随矩阵~) ②初等变换法（A:I）-(施行初等变换)（I:A^-1）　? 5．用逆矩阵求解矩阵方程： AX=B，则X=（A^-1）B； XB=A，则X=B(A^-1)； AXB=C，则X=(A^-1)C(B^-1) 三、线性方程组 1．线性方程组解的判定 定理： (1) r(A,b)≠r(A)? 无解； (2) r(A,b)=r(A)=n? 有唯一解； (3)r(A,b)=r(A)n?? 有无穷多组解； 特别地：对齐次线性方程组AX=0 (1)? r(A)=n? 只有零解； (2)? r(A)n? 有非零解； ????再特别，若为方阵， (1)|A|≠0? 只有零解 (2)|A|=0?? 有非零解 2．齐次线性方程组 （1）解的情况： r(A)=n，（或系数行列式D≠0）只有零解； r(A)n，（或系数行列式D＝0）有无穷多组非零解。 （2）解的结构： 　X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。 （3）求解的方法和步骤： 　①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵； ②写出对应同解方程组； ③移项，利用自由未知数表示所有未知数； ④表示出基础解系； ⑤写出通解。 3．非齐次线性方程组 （1）解的情况： 利用判定定理。 （2）解的结构： 　X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。 （3）无穷多组解的求解方法和步骤： 　与齐次线性方程组相同。 （4）唯一解的解法： 　有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。 四、向量组 1．N维向量的定义 注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。 2．向量的运算： 　（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）； 　（2）向量内积　αβ=a1b1+a2b2+…+anbn； （3）向量长度　 ??? |α|=√αα=√(a1^2+a2^2+…+an^