补充材料：空间向量在立体几何解题中的应用讲座.doc

空间向量在立体几何解题中的应用 一、空间向量的基础知识 1．空间向量的坐标运算 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}(i，j，k，k、C|x|=OA，|y|=B，|z|=C，与i方向相同时，x0，反之x0．同理确定y、z．点P的坐标与坐标相同． (2)向量的直角坐标运算 设a=(a1，a2，a3)，b=1，b2，b3)，则 a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)；a·b=a1b1+a2b2+a3b3， a∥b?a1=lb1，a2=lb2，a3=lb3(l?R )．或， a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0． cosa，b=．x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 ||=． x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 若M分为定比l(l≠-1)，则M的坐标为 x=，y=，z=， l=1即M为中点时得中点坐标公式： x=，y=，z=． ，x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3z3)为顶点的三角形重心公式：x=，y=，z=．2．平面法向量的概念和求法 向量与平面垂直：如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作a⊥?． 平面的法向量：如果a⊥?，那么向量a叫做平面?的法向量． 一个平面的法向量有无数条，它们的方向相同或相反． 一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题．推导平面法向量的方法如下： 在选定的空间直角坐标系中，设平面?的法向量n=(x，y，z)[或n=(x，y，1)或n=(x，1，z)，或n=(1，y，z)]，在平面?内任选定两个不共线的向量a，b．由n⊥?，得n·a=0且n·b=0，由此得到关于x，y的方程组，解此方程组即可得到n． 例1．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求平面A1C1D的法向量n和单位法向量n0． 二、空间向量在立体几何解题中的应用 (一)空间角 1．异面直线所成的角 设点A，B?直线a，C，D?直线b，构造向量，． cos，=， ，所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角． 例2．在例1中，设AC∩BD=O，求异面直线D1O，DC1所成的角． 2．线面所成的角 如图，AB为平面的斜线，n为平面?的法向量，如果与n之间所成的角?为锐角，则斜线AB与平面?之间所成的角?=-?． 即利用向量与n求出的是角?，实际上所求的角是?． 若?为锐角，则?=-?，sin?=cos?； 若?为钝角，则?=-(?-?)=?-，sin?=-cos?． 总之有，sin?=|cos，n|=． 例在例1中，设E、F分别为C1D1、B1C1的中点， (1)求证：E、F、B、D共面； (2)求A1D与平面EFBD所成的角． 3．二面角的求法 二面角?—l—b，平面?的法向量m，平面b的法向量n．则二面角?—l—b的平面角?=m，n． 所以，cosm，n=． 若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都指向二面角内或外时，则m，n为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个指向二面角内，另一个指向外时，则m，n为二面角的平面角． 例在例1中，求二面角D1—AC—D的大小． (二)空间距离 1．点到面的距离 设A是平面?外一点，AB是?的一条斜线，交平面?于点B，而n是平面?的法向量，那么向量在n方向上的正射影长就是点A到平面a的距离h， 所以h=例例1中，设G、H分别是A1B1、CD的中点，求点B到截面AGC1H的距离．练习：在例1中，求点A1到平面ACD1的距离． 2．异面直线间的距离 如图3，若CD是异面直线a、b的公垂线段，A、B分别为a、b上的任意两点．令向量n⊥a，n⊥b，则n∥． ∵=++， ∴?n=?n+?n+?n， ∴?n=?n， ∴|?n|=||?|n|，∴||=． ∴两异面直线a、b间的距离为：d=． 其中n与a、b均垂直(即a，b的公垂向量)，A、B分别为两异面直线上的任意两点． 另外：假设异面直线a、b，平移直线a至a′且交b于点A，那么直线a′和b确定平面?，且直线a∥?，设n是平面?的法向量，那么n⊥a，n⊥b．所以异面直线a和b的距离可以转化为求直线a上任一点到平面a的距离．例．在例1中，求直线DA1和AC间的距离． 练习．如图4，正四棱锥S—ABCD的高SO=2，底边长AB=，求异面直线BD和SC之间的距离． 例．长方体ABCD—A1B1C1D1中AB=2，AD=4，AA1=6，E是BC的中点，F是CC1的中点，求 (1)异面直线D1F与B1E所成角大小； (2)二面角D1—AE—D大小； (3)异面直线B1E与D1F的距离． 3．线面距离 直线a与平面