311方程根与函数零点.doc

§3.1函数与方程（一） [自学目标] 掌握二次函数与对应方程的关系 2.理解函数的零点的概念 初步了解判断函数零点所在区间的方法 3.会用函数图象的交点解释方程的根的意义 能结合二次函数图象与x轴的交点个数判断一元二次方程根的存在性和根的个数 了解函数的零点与对应方程根的关系 [知识要点] 1.函数的零点：一般地，如果函数y=f(x)在实数a处的值等于0，即f(a)=0，则a叫做这个函数的零点。对于函数的图象，零点也就是这个函数的图象与x轴的交点的横坐标。 2.二次函数的零点性质： 二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号。 相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。 3．方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数f(x)=0有零点。 [预习自测] 例1．求证：一元二次方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根 例2．如图，是一个二次函数y=f(x)的图象。 (1)写出这个二次函数的零点； (2)写出这个二次函数的解析式； (3)试比较f(-4)f(-1),f(0)f(2)与0的大小关系。 例3．二次函数f(x)= ax2+bx+c (x R)的部分对应值如下： X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6 不求a,b,c的值，可判断ax2+bx+c=0的两根所在区间是 （ ） A（-3，-1）（2，4） B（-3，-1）（-1，1） C（-1，1）（1，2） D（-，-3）（4，+） 例4．若方程2ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是 （ ） A a-1 B a1 C –1a1 D 0a1 [课内练习] 1．函数f(x)= x2-3x-4的零点是 （ ） A 1，-4 B 4，-1 C 1，3 D 不存在 2．函数f(x)=x-的零点的个数是 （ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 无数个 3．已知函数f(x)= mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m取值范围是 （ ）A （ 0，1 ） B C （-，1） D 4.关于x的方程|x2-4x+3|-a=x有三个不相等的实数根，则实数a的值是___________. 5.对于任意定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)=x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点。现给定一 个实数a(a（3，4）)，则函数f(x)=x2+ax+1的不动点共有________个。 6.若函数y=ax2-x-1只有一个零点，则实数a的取值范围_______。 [归纳反思] 方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标、以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式。例如求方程根的个数，就是看对应的函数图象与x轴有几个交点。反过来求函数的零点个数，则可以看方程有几个实数根。 2.函数零点的存在性的判断方法是本节的重点和难点，它指出了函数零点的一种寻找方法。对于连续不断的函数，只需找到一个区间，使区间两端点的函数值异号，就可确定在此区间内至少有一个零点。它的几何意义是函数的图象在此区间上与x轴有交点。如果图象是间断的，虽然在区间两端函数值异号，但图象与x轴不一定有交点，因此不一定有零点。 3.函数在某一区间上单调对零点个数的判断很重要。 [巩固提高] 1．函数f(x)=的零点个数有 （ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 不确定 2．二次函数y=与x轴至多有一个交点，则k的取值范围是 A B C D 3.函数f(x)=在（-1，1）上零点的个数为 （ ） A 0个