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阅读理解与探究问题
阅读理解与探究问题
题1:实际问题:某学校共有18个教学班,每班的学生数都是40人.为了解学生课余时间上网情况,学校打算做一次抽样调查,如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级,那么全校最少需抽取多少名学生?
建立模型:为解决上面的“实际问题”,我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型:
在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同),现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的,则最少需摸出多少个小球?
为了找到解决问题的办法,我们可把上述问题简单化:
(1)我们首先考虑最简单的情况:即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的,则最少需摸出多少个小球?
假若从袋中随机摸出3个小球,它们的颜色可能会出现多种情况,其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同,那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色,即最少需摸出小球的个数为:1+3 = 4(如图①);
(2)若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢?
我们只需在(1)的基础上,再从袋中摸出3个小球,就可确保至少有3个小球同色,即最少需摸出小球的个数是:1+3×2 = 7②);
(3)若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢?
我们只需在(2)的基础上,再从袋中摸出3个小球,就可确保至少有4个小球同色,即最少需摸出小球的个数是:1+3×3 = 10③);
……
(10)若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色
的呢?
我们只需在(9)的基础上,再从袋中摸出3个小球,就可确保至少有10个小球同色,即最少需摸出小球的个数是:1+3×(10-1)= 28⑩).
模型拓展一:在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同),现从袋中随机摸球:
(1)若要确保摸出的小球至少有2个同色,则最少需摸出小球的个数是 ;
(2)若要确保摸出的小球至少有10个同色,则最少需摸出小球的个数是 ;
(3)若要确保摸出的小球至少有n个同色(n<20),则最少需摸出小球的个数是 .
模型拓展二:在不透明口袋中装有m种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同),现从袋中随机摸球:
(1)若要确保摸出的小球至少有2个同色,则最少需摸出小球的个数是 ;
(2)若要确保摸出的小球至少有n个同色(n<20),则最少需摸出小球的个数是 .
问题解决:(1)请把本题中的“实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型
(2)根据(1)中建立的数学模型,求出全校最少需抽取多少名学生.
题2:我们在解决数学问题时,经常采用转化(或)的思想方法,把待解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已解决或比较容易解决的问题.
譬如,在学习了一元一次方程的解法以后,进一步研究二元一次方程组的解法时,我们通常采用消元的方法,把二元一次方程组转化为一元一次方程;再譬如,在学习了三角形内角和定理以后,进一步研究多边形的内角和问题时,我们通常添加辅助线,把多边形转化为三角形.
问题提出:如何把一个正方形分割成n(n9)个小正方形?
为解决上面问题,我们先来研究两种简单
基本分割法1:如图①,把一个正方形分割成4个小正方形,即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形.
基本分割法2:如图②,把一个正方形分割成6个小正方形,即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形.
问题解决:有了上述两,我们就可以把一个正方形分割成n(n9)个小正方形.
1)把一个正方形分割成9个小正方形.
一种方法:如图③把图①中的任意1个小正方形按基本分割法2进行分割,就可增加5个小正方形,从而分割成4+5=9(个)小正方形.
另一种方法:如图④把图②中的任意1个小正方形按基本分割法1进行分割,就可增加3个小正方形,从而分割成6+3=9(个)小正方形.
(2)把一个正方形分割成10个小正方形.
方法:如图⑤把图①中的任意2个小正方形按基本分割法1进行分割,就可增加3×2个小正方形,从而分成4+3×2=10(个)小正方形.
(3)请你参照上述分割方法,把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可,不用说明分割方法).
()把一个正方形分割成n(n9)个小正方形.:基本分割法基本分割法2把个正方形分割成9个、10个和11个小正方形,每用次基本分割法1,就可增加3个小正方形,一个正方形分割成个、个、即可一个正方形分割成n(n9)个小正方形.
从上面的分法可以看出,解决问题的关键就是找到两种基本分法,然后两种基本分割法或其组合把正方形分割成n(n9)个小正方形.
仿照上面的方法,我们可以把一个正三角形分割成n(n9)个小正三角形.
(1)基本分割法1:把一个正三角形分割成4个小正三角形(请
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