不等式证明方法习题精选精讲.doc

不等式的证明 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意的变式应用。常用 (其中)来解决有关根式不等式的问题。 1、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1 、已知a,b,c均为正数，求证： 证明：∵a,b均为正数， ∴ 同理， 三式相加，可得 ∴ 2、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、 a、b、，，求证： 证：∴ 3 、设、、是互不相等的正数，求证： 证：∵ ∴ ∵ 同理: ∴ 4 、已知a,b,c，求证: 证明：∵ 即，两边开平方得 同理可得三式相加，得 5、且，证：。 证： 6、已知 策略:由于 证明。 3、分析法 分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。 7、已知、、为正数，求证： 证：要证：只需证： 即：∵ 成立∴ 原不等式成立 8、且，求证。 证：即： ∵ 即∴原命题成立 4、换元法 换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。 9、︱a︱，，求证：。 证明：令 左 ∴ 10、，求证： 证：由设，∴ ∴ 11、已知abc,求证： 证明：∵a－b0, b－c0, a－c0 ∴可设a－b=x, b－c=y (x, y0) 则a－c= x + y, 原不等式转化为证明即证，即证 ∵∴原不等式成立（当仅x=y当“=”成立） 12、已知1≤x＋y≤2，求证：≤x－xy＋y≤3． 证明：∵1≤x＋y≤2，∴可设x = rcos，y = rsin，其中1≤r≤2，0≤＜． ∴x－xy＋y= r－rsin= r(1－sin)，∵≤1－sin≤，∴r≤r(1－sin)≤r，而r≥，r≤3∴ ≤x－xy＋y≤3． 13、已知x－2xy＋y≤2，求证：| x＋y |≤． 证明：∵x－2xy＋y= (x－y)＋y，∴可设x－y = rcos，y = rsin，其中0≤r≤，0≤＜． ∴| x＋y | =| x－y＋2y | = | rcos＋2rsin| = r|sin(＋ractan)|≤≤． 14、解不等式＞ 解：因为=6，故可令 = sin，＝ cos，∈［0，］ 则原不等式化为 sin－ cos ＞所以 sin ＞+ cos 由∈［0，］知+ cos＞0，将上式两边平方并整理，得48 cos2+4 cos－23＜0 解得0≤cos＜所以x＝6cos2－1＜，且x≥－1，故原不等式的解集是｛x|-1≤x＜ . 15、－1≤－x≤． 证明：∵1－x≥0，∴－1≤x≤1，故可设x = cos，其中0≤≤． 则－x =－cos= sin－cos=sin(－)，∵－≤－≤， ∴－1≤sin(－)≤，即－1≤－x≤． 增量代换法 在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简． 16、a，bR，且a＋b = 1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥． 证明：∵a，bR，且a＋b = 1，∴设a =＋t，b=－t， (tR) 则(a＋2)＋(b＋2)= (＋t＋2)＋(－t＋2)= (t＋)＋(t－)= 2t＋≥． ∴(a＋2)＋(b＋2)≥． 利用“1”的代换型 17、策略：做“1”的代换。 证明： . 5、反证法 反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。 18、若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求证：p＋q≤2．证明：反证法 假设p＋q＞2，则(p＋q)＞8，即p＋q＋3pq (p＋q)＞8，∵p＋q= 2，∴pq (p＋q)＞2． 故pq (p＋q)＞2 = p＋q= (p＋q)( p－pq＋q)，又p＞0，q＞0 p＋q＞0， ∴pq＞p－pq＋q，即(p－q) ＜0，矛盾．故假设p＋q＞2不成立，∴p＋q≤2． 19、已知、、（0，1），求证：，，，不能均大于。 证明：假设，，均大于∵ ，均为正 ∴ 同理 ∴ ∴ 不正确 ∴ 假设不成立 ∴ 原命题正确 20、已知a,b,c∈（0，1），求证：（1－a）b, （1－b）c, （1－c）a 不能同时大于。 证明：假设