一元一次不等式与不等式组的研讨与应用.doc

一元一次不等式与不等式组的研讨与应用 包遵义 1．不等式相关概念： （1）不等式： 叫做不等式； （2）一元一次不等式： 叫做一元一次不等式； （3）一元一次不等式组： 叫做一元一次不等式组。 2．不等式的基本性质： （1）若则： （2）若,则： （3）若则： （4）若则： （对称性） （5）若则： （传递性） 3．一元一次不等式的解法 当一元一次不等式化为标准形式后 （1）当时： （2）当时： （3）当时：若，无解；若，解为任意实数 4．一元一次不等式组的解法 可先借助数轴直观地将公共部分表示出来，再用数学式子写出解集，即先求出“组”内每个不等式的解集，然后再从“组”角度去求“不等式组”的解集，可自行总结下表： 不等式组 数 轴 表 示 解 集 口 诀 大大取大 小小取小 大小、小大中间找 无解 大大、小小找不着 感受不等关系，体会最优化思想 生活中的不等关系往往是由相等关系得到的，相等关系的解决往往是不等关系解决的突破口，但真正的应用价值往往存在于不等关系中。 例1．如图1，用两根长度均为l cm的绳子，分别围成一个正方形和一个圆，猜想正方形和圆的面积哪个大？ 析： 显然，所围成的两图形的周长相等，如何利用周长的计算公式分别求出边长和半径，再利用面积公式进行计算比较。 解： 不难求出所围成的正方形和圆的面积分别为：由于，所以无论取何值时，圆的面积总大于正方形的面积。 二、体会类比思想，轻松求解不等式 例2．某自来水公司按如下标准收取水费：若每户每月用水不超过，每立方米收费1.5元，超出部分则每立方米收费2元。为了节约用水节省开支，小颖家在计划用水费用支出时，规定水费不得超过15元，那么，她家这个月的用水量最多是多少？ 解： 设小颖家这个月的用水量是，由于，所以按她家规定，用水量可以超过，所以得：，即 （1）利用“等式”解“不等式”，用“数”来表示“解集” 的解为，与方程类比可得：当时，，，所以 （2）利用“数轴”的形象直观，用“形”来表示“解集”， （可分三步走：1画数轴2定界点3走方向） 的解集在数轴上表示为： （3）数形结合，则更胜一筹。如： 例3．已知不等式的正整数解是1，2，3。求的取值范围。 析： 首先对题意要正确理解，“关于的不等式的正整数解是1，2，3”的意思是：的解集包含了正整数1，2，3，且仅有1，2，3，换句话说，用数轴表示则其解集必如右上图所示。 解： 解不等式，因为：， 所以：正整数解为1，2，3 所以： 即： ， 故的值应取。 三、提高认识，纠正错误 初学“解一元一次不等式”，对不等式的概念、基本性质和同解变形如果掌握不好，会出现一些错误，列举几例，以帮助同学们提高认识，辨清疑点。 四、联系实际，体会成功 不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，在不等式的应用问题中，只有真正明确了解了它们的实际意义后，才能从解题中找出符合条件的解。 例4．有人问一位老师，他所教的班有多少学生，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生念外语，还剩下不足6位同学在操场踢足球。”试问这个班共有多少位学生？ 甲生：解：设这个班共有位同学，则有： 所以，。又因为是正整数 故这个班的同学人数不确定，只要是小于或等于55的正整数都符合条件。 乙生：解：设该班共有位同学，则：，所以。 又因为都是正整数，则是2，4，7的最小公倍数。所以。 故该班学生共有28人。 诊断： 在解集中寻找符号条件的解时，一定要思考周全，捕捉到的条件信息要处理准确，乙生的解答是正确的。 五、他山之石，可以攻玉 解不等式组和解方程组的方法类似吗？ 例5．解不等式组： 甲生：解：由①②可得：解不等式③得 故：原不等式组的解集为。 乙生：解：取，它满足，把代入①会得到，这说明甲错了。错在什么地方呢？解不等式组不能套用解方程组的方法—由两个方程变形为一个方和求解，具体到本题，由①②完全可以推出③，但由③并不能推出①和②，也就是说，③的解集并不能保证是原不等式组的解集。 丙生：解：解不等式①，得 解不等式②，得 在数轴上表示①②的解集如下： 故这个不等式组的解集为。 诊断：解不等式组和方程组的方法截然不同，解不等式组，既不能用代入法，也不能用加减法，而应分别解不等式组中的每一个不等式，然后利用数轴找出他们的公共部分，在这里，老师同意乙生的评价，丙生的解答完全正确。 六、挑战自我，学以致用 设