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专题四 导数的简单应用及定积分
1.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( ). A. B.
C. D.1 A [y′=-2e-2x,曲线在点(0,2)处的切线斜率k=-2,切线方程为y=-2x+2,该直线与直线y=0和y=x围成的三角形如图所示,其中直线y=-2x+2与y=x的交点A,所以三角形面积S=×1×=,故选A.]
2.曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为________.解析 曲线方程为y=x3-x+3,则y′=3x2-1,又易知点(1,3)在曲线上,有y′|x=1=2,即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2,所以切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0.
答案 2x-y+1=03.设函数f(x)=D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则z=x-2y在D上的最大值为________.解析 当x>0时,求导得f′(x)=,所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率k=1,切线方程为y=x-1,画图可知区域D为三角形,三个顶点的坐标分别为,(0,-1),(1,0),平移直线x-2y=0,可知在点(0,-1)处z取得最大值2.
答案 24.计算定积分-1(x2+sin x)dx=________.解析 -1(x2+sin x)dx==.
答案
1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程;考查定积分的性质及几何意义.
2.考查利用导数的有关知识研究函数的单调性、极值和最值,进而解(证)不等式.
3.用导数解决日常生活中的一些实际问题,以及与其他知识相结合,考查常见的数学思想方法.
首先要理解导数的工具性作用;其次要弄清函数单调性与导数符号之间的关系,掌握求函数极值、最值的方法步骤,对于已知函数单调性或单调区间,求参数的取值范围问题,一般先利用导数将其转化为不等式在某个区间上的恒成立问题,再利用分离参数法求解.
必备知识
导数的几何意义
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=f′(x0).
(2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
(3)导数的物理意义:s′(t)=v(t),v′(t)=a(t).
基本初等函数的导数公式和运算法则
(1)基本初等函数的导数公式
原函数 导函数 f(x)=c f′(x)=0 f(x)=xn(nR) f′(x)=nxn-1 f(x)=sin x f′(x)=cos x f(x)=cos x f′(x)=-sin x f(x)=ax(a>0且a≠1) f′(x)=axln a f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=logax(a>0且a≠1) f′(x)= f(x)=ln x f′(x)= (2)导数的四则运算法则
[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x);
[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);
′=(v(x)≠0).
(3)复合函数求导
复合函数y=f(g(x))的导数和y=f(u),u=g(x)的导数之间的关系为yx′=f′(u)g′(x).
利用导数研究函数单调性的一般步骤
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数f′(x);
(3)若求单调区间(或证明单调性),只需在函数y=f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0;若已知y=f(x)的单调性,则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解.
求可导函数极值的步骤
(1)求f′(x);
(2)求f′(x)=0的根;
(3)判定根两侧导数的符号;
(4)下结论.
求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求f′(x);
(2)求f′(x)=0的根(注意取舍);
(3)求出各极值及区间端点处的函数值;
(4)比较其大小,得结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值).
必备方法
1.利用导数解决优化问题的步骤
(1)审题设未知数;(2)结合题意列出函数关系式;(3)确定函数的定义域;(4)在定义域内求极值、最值;(5)下结论.
2.定积分在几何中的应用
被积函数为y=f(x),由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b(a<b)和y=0所围成的曲边梯形的面积为S.
(1)当f(x)>0时,S= f(x)dx;
(2)当f(x)<0时,S=- f(x)dx;
(3)当x∈[a,c]时,f(x)>0;当x∈[c,b]时,f(x)<0,则S= f(x)dx- f(x)dx.
常考查:①根据曲线方程,求其在某点处的切线方程;②
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