18【正比例函数和反比例函数】.docVIP

第一十八章 正比例函数和反比例函数 本章综合解说 客观世界是不断运动和变化着的，在这些变化着的事物中，存在各种各样的变量。在同一变化过程中，一些变量之间相互依存，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化。函数是体现运动变化的基本数学概念，它从数量角度刻画事物变化的过程，表达变量之间确定的依赖关系。 本章引入了函数的概念，重点讨论正比例函数和反比例函数，并借助与图像的直观，得到它们的一些基本性质，进而应用这些概念和性质，解决一些简单的实际问题。 §18.1 正比例函数 【知识结构框图表】 【本节解读】 人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征，量是用“数”来表明大小的。数与度量单位结合在一起，就是数量。经常涉及的量有长度、面积、体积、质量、温度、时间、速度等。 【基础知识与要点拨】 变量和常量 在变化过程中，可以去不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量。 比如：圆的周长C与直径D的关系为C＝D。C、D是变量，是常量。 函数和自变量 在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许范围内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。“y是x的函数”用记号y＝f(x)表示，括号内的字母表示自变量，括号外的字母f表示y随着x的变化而变化的规律。f(a)表示当x＝a时的函数值。 定义域和值域 函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。对应于自变量的函数值的取值范围，叫做值域。 正比例 如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例。用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是或者，其中，k是不为零的常数。 正比例函数 定义域是一切实数的函数（k是不为零的常数）叫做正比例函数。其中常数k叫做比例系数。确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数。 函数解析式 表示两个变量之间依赖关系的数学式子叫做函数解析式。 正比例函数的图像和性质 正比例函数（k是不为零的常数）的图像是经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线。当时，直线经过第一、三象限，自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大；当时，直线经过第二、四象限，自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小。 几点注意： 函数的定义域不但要使代数式有意义，而且要符合实际要求。 正比例函数中，k不能为零，但定义域是一切实数，两者不能混淆。 在实际问题中，正比例函数的图像往往是一段线段，一定要根据定义域来确定线段的所在范围。 正比例函数与正比例是有区别的，比如：就不是正比例函数，但是y与成正比例。 §18.2 反比例函数 【知识结构框图表】 【本节解读】 本节主要讨论反比例函数的定义、反比例函数的解析式及定义域、函数的图像和性质以及反比例函数的实际应用。 【基础知识与要点拨】 反比例 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么这两个变量就成反比例。例如某段路程长100km，汽车速度为每小时v km，汽车行驶的时间为t小时，则v与t就满足：。所以v与t成反比例。 反比例函数 定义域是不等于零的一切实数的函数叫做反比例函数，其中常数k叫做比例系数。 反比例函数的图像和性质 有描点法可知，反比例函数的图像是双曲线，有两支，每支都向两方无限延伸，与坐标轴越来越靠近，但永不相交。 当时，直线经过第一、三象限，在图像所在的每一个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小； 当时，直线经过第二、四象限，在图像所在的每一个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大。 几点注意： 反比例函数解析式有三种表示方法：，，（） 反比例函数的图像是双曲线，有两支，分别在第一、三象限或第二、四象限 在图像所在的每一象限中，图像是连续的，自变量x的值逐渐增大时，y的值逐渐减小（或增大），但是在整个定义域中函数图像是不连续的。当x的值逐渐变化时，y的值有相反方向的变化。 常见问题中的已知条件为，只是限定在图像所在的一个象限内讨论的值的变化情况，不要与混淆。 §18.3 函数的表示法 【知识结构框图表】 【本节解读】 函数的表示方法，常用的有解析法、列表法、图像法三种。不同的表示方法各具特点，各有局限，把几种方法结合起来，有助于对函数进行分析和研究，尤其是用待定系数法确定函数解析式的数学思想方法值得重视。 【基础知识与要点拨】 解析法 用数学式子来表示两个变量之间的函数关系，叫做解析法。这种数学式子也叫做函数解析式，如等，解析式既概括又明了。 列表法 把两个变量之间的依赖关系用表格来表达，这种表示函数的方法叫做列表法。比如平方表和平方根表以及三角函数表。 图象法 把两个变量之间的依赖关系用图像来表达，这种表示函数的方法叫做