2.3.1等比数列的概念.docVIP

2.3.1　等比数列的概念 教学目标：1. 体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等比数列的概念． 2. 利用等比数列解决实际问题． 教学重点：等比数列的概念． 教学难点：理解等比数列“等比”的特点．可以通过与等差数列进行类比来突破难点． 教学方法：启发式、讨论式． 教学过程：一、问题情境 情境1：某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为 情境2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为 情境3：某轿车的售价约为36万元，年折旧率约为﹪（就是说这辆车每年减少它的价值的﹪），那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为 问题：与等差数列相比，上面这些数列有什么特点？ 二、学生活动 通过观察，发现： 1．上述数列的共同特征，从第2项起，每一项都与它的前一项的比等于同一个常数．而等差数列的特征是，从第2项起，每一项都与它的前一项的差等于同一个常数． 2．根据这一规律可以发现任何一项都可以找出来． 通过讨论，得到这些问题共同的特点是，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数． 三、建构教学 归纳总结，形成等比数列的概念： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示． 符号记法，若数列为等比数列，公比为，则． 问题1：下列数列是否为等比数列，如果是，公比是多少？ （1）； （2）； （3）； （4）． 问题2：一个数列是等比数列，那么它的项和公比必须满足什么条件？ 问题3：当等比数列的公比为负数的时候，数列每一项有什么样的特征？ （学生讨论回答） 答　问题1中（1）、（3）是等比数列，公比分别是1和；（2）不是；（4）当不等于的时候是，等于0的时候不是． 问题2中等比数列的每一项都不能为0，公比也不能等于0． 问题3中项是呈正负交替出现，形成摇摆数列． 等比中项的概念． 若成等比数列，那么叫和的等比中项，且． 注：同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数． 四、数学运用 1. 例题． 例1　求出下列等比数列中的未知项：（1）；（2）． 例2 （1）在等比数列中，是否有？ （2）如果数列中，对于任意的正整数，都有，那 么一定成等比数列吗？ 引导学生利用课本P36例3的证明过程对等比数列进行讨论，只是要提醒学生等比数列每一项均不为0．所以（2）不一定成立，只有在每一项均不为0的时候才成立． 总结判定数列是否是等比数列的两个方法：定义法和等比中项法． 例3　已知等比数列的首项为，公比为． 新数列也是等比数列吗？如果是，公比是多少？ 依次取出数列所有的奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等 比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？ 数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？ 引导学生讨论，按照等比数列的定义，利用判断．归纳总结一般性的结论：如果取出的项下标成等差数列，按照原来的顺序排列形成的新数列依然是等比数列，公比是（为下标成等差数列时的公差） 2. 练习． 已知下列数列是等比数列，请在括号内填上适当的数： ①（ ），3,27； ②3，（ ），5； ③1，（ ），（ ），． 直角三角形的三边成等比，为斜边，则． 已知数列满足：，试用定义证明是等比数列． 五、要点归纳与方法小结 1. 了解等比数列的概念，形成与等差数列的一个对比； 2. 对于等比数列的每一项均不为0要进行讨论； 3. 证明一个数列是等比数列要用定义法证明，即． 六、课外作业 课本练习P51第1，2，3，6题．