§1.3平面点集的一般概念(上课用)2011-8-27.docVIP

§1.3 平面点集的一般概念 教学目的：理解并掌握复平面上的简单曲线、区域、单连通域与多连通域等概念． 重点与难点：理解复平面上的简单曲线、区域、单连通域与多连通域等概念；弄清各概念的区别和联系． 教学过程： §1.3.1 开集与闭集 1．点的邻域与去心邻域 点的邻域是点集中最基本的概念之一,其定义如下： 【定义1】 平面上以为中心，（任意正数）为半径的开园可表示为：， 称为的－邻域， 记为.称 为的 －去心邻域．记为．（如图1.10） 2．几类特殊点 聚点与孤立点 【定义2】 设为平面上的一个点集，为平面上的一点（不必属于）, 若的任意一个邻域中都有中的无穷多个点(即对的任一个邻域, 总有为无限集),则称为的一个聚点(或极限点).若属于,但非的聚点 ，即存在的某个邻域, 使得 , 则称为的一个孤立点. 例子:点集以0为聚点，但0不在集合中；点集 以0为聚点，但0在集合中. 实数集R中每一点都是R的聚点. （2）内点与外点 【定义3】 设为平面上的一个点集，为平面上的一点, 若, ,则称为的一个内点. 若存在的某个邻域,使得, 则称为的一个外点. 显然的一个外点必不属于． （3）边界点与边界 【定义4 】 设为平面 上的一个点集，为平面 上的一点, 若在的任一个 邻域内既有属于的点也有不属于的点，即，, 则称为的一个边界点. 一般的边界点可以属于,也可以不属于．习惯上,我们把的边界点全体所成的集(记为)称为的边界．（如图1.11） （4）内点、聚点、边界点、孤立点几类点之间的关系 3．开集与闭集 【定义5 】 设为平面上的一个点集, 若内的每一点都是内点, 则称为开集．平面上不属于的全体点组成的集合为的余集，记作（或），为开集的充要条件是是闭集． 例子:为开集:因为对于，存在成立. 为闭集,因为为开集. 为的边界. 【定义6 】 设为平面上的一个点集, 若存在正数, 使得对任意,都有(即全含于一圆之内), 则称为有界集,否则称 为无界集． 空集既是开集又是闭集. §1.3.2平面区域 区域与闭区域 【定义7 】 设为平面上的一个点集, 若满足 (1)是开集； (2) 是连通集(即中任意 两点可用全含在内的一条 折线连接), 则称为区域 (即连通开集为区域). 若是区域,则称为闭域. 记为． 注意： 区域是开集，闭区域是闭集；全平面既是区域又是闭区域. 下面举些平面点集的例子 例1 平面上满足的点组成区域(称为以为心,为半径的圆), 而满足的点所成的集是闭域(称为以为心, 为半径的闭圆域)。 显然,它们都是有界的, 且都以圆周 为边界. 例2平面上以实轴为边界 的两个无界区域为：上半平 面和下半平面, 平面上以虚轴为边界 的两个无界区域为：右半平面 和左半平面. （如图1-12 ） 例3由不等式且 所确定的平面点集(如图去掉阴影的部分)是无界区域； 由不等式所确定的平面点集是无界区域(称为带形区域)．（如图1-13） 由不等式所确定 的平面点集是有界区域(称为圆环域) （如图1-14） 由等式所确定的平 面点集表示线段的中垂线,它是无界 集,但不是区域．（如图1-15） §1.3.3平面曲线与若当曲线 1．平面曲线的复方程 【定义8】设和都是闭区间上连续的实函数,由 方程组 或复数方程．, 所确定的平面点集, 称为平面上一条连续曲线. 2.常见的曲线的复数形式方程: 1）圆 :. 其中正的实常数.的常数）：. 3）直线 : 其中为平面上的已知点为端点的直线段 . 5）以为起点的射线 . 6）连接,两点的直线的复参数方程为，(其中);（如图1.8） 3．光滑曲线、简单曲线 【定义】如果在区间 上都连续，且对每一个都有，则称曲线光滑；由几段光滑曲线顺次连接所成的曲线称为分段光滑曲线. 注意：光滑曲线必须是曲线在每一点的切线存在，且每点 的切线沿曲线连续转动（连续变化）。 【定义10】设是一条连续曲线，其中及分别为的起点和终点；对于满足，且和, 当时，而有称为曲线的重点；凡无重点的连续曲线,称为简单曲线或若当（）曲线. (即起点和终点重合)的曲线称为简单闭曲线． 连续曲线必为平面上的有界闭集． 平面曲线有四种:简单闭曲线、简单不闭曲线、不简单闭曲线、不简单不闭曲线. 【若尔当定理】任一条简单闭曲线将平面惟一地分成、、三个点集，它们具有如下性质： (1)彼此不交； (2) 是一个有界区域 (称为的内部)； (3) 是一个无界区域 (称为的外部)； (4) 与均以为边界,且任一条端点分别在和内的连续曲线必与曲线相交． 简单闭曲线的方向规定 如下(左手法则): 当观察者沿着的某一方向前进时, 的内部总在观察者的左手边(即逆时针方向),则称此方向为的正方向, 此时另一个方向称为的负方向(即顺时针方向)．（