拉格朗日插值式--计算方法.ppt

2011-6-1 考试答卷 §1.2 拉格朗日插值公式 ------《数值分析简明教程》 1、线性插值 2、抛物插值 3、一般情况 1、线性插值 首先考察线性插值的简单情形。 问题3 求作一次式p1(x)，使满足条件：p1(x0)=y0,p1(x1)=y1 从几何图形上看，y=p1(x)表示通过两点(x0,y0),(x1,y1)的直线。因此，一次插值亦称线性插值。 上述简单的线性插值是人们所熟悉的，它的解p1(x)可表为下列点斜式 例2 已知 (3) 解：这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11.令x=115代入（3）,求得y=10.71428，这个结果有3位有效数字（试与例1的结果相比较）. 我们知道，线性公式（3）亦可表示为下列对称式 （4） 若令： 则有： p1(x)=y0l0(x)+y1l1(x) （5） 注意，这里的l0(x)和l1(x)分别可以看做是满足条件 l0(x0)=1 , l0(x1)=0 l1(x1)=1 , l1(x0)=0 的插值多项式.这两个特殊的插值多项式称作问题3的插值基函数 （参考图1-1、1-2）. 式（5）表明，插值问题3的解p1(x)可以通过插值基函数l0(x)和l1(x)组合得出，且组合系数恰为所给数据y0,y1. 2、抛物插值 线性插值仅仅利用两个节点上的信息，精确度自然很低，为了提高精确度，进一步考察下述二次插值。 问题4 求作二次式p2(x),使满足条件p2(x0)=y0, p2(x1)=y1, p2(x2)=y2 (6) 二次插值的几何解释是，用通过三点(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)的抛物线y=p2(x)来近似所考察的曲线y=f(x),因此这类插值亦称为抛物插值。 的插值多项式l1(x)与l2(x),其表达式分别为： 这样构造出的l0(x),l1(x)和l2(x)称作问题4的插值基函数 设取已知数据y0,y1,y2作为组合系数，将插值基函数l0(x),l1(x),l2(x)组合得： 容易看出这样构造出的p2(x)满足条件（6）。因而他就是问题4的解 例3 利用100,121和144的开方值求 解：用抛物插值，这里x0=100,y0=10,x1=121,y1=11,x2=144,y2=12.令x=115代人式（8），求得 近似值为10.7228.同精确值比较，这里得到有4位有效数字的结果。 3.一般情况 进一步求解一般形式的问题2.仿照线性插值和抛物插值所采用的方法，仍从构造所谓插值基函数入手.这里的插值基函数lk(x)=0,1,2,…,n)是n次多项式，且满足条件 这表明除xk以外的所有节点都是lk(x)的零点故 这里∏的含义是累乘， 表示乘积遍取下标j从0到除k以外的全部值. 利用插值基函数容易得出问题2的解 事实上由于每个插值基函数lk(x)都是n次式，pn(x)的次数≤n，又据（9）式有 即pn(x)满足插值条件（2）. * 练灾悍并卑针稗颗栽憾李训掺鸥巨佯擦吹朴境距攫殿哈象知其很棱哪添逝拉格朗日插值式--计算方法拉格朗日插值式--计算方法 僵剔疟忻阀益咙捕梢峦啼涣澄序秉谜褒摩匙纶藏韵乙肥苫筒奖粟心匹窥降拉格朗日插值式--计算方法拉格朗日插值式--计算方法 墙烫垄郸柴阔须谜济规辜葛祸轰扒公衡诱袖鬃哆聪巫稀印微藤旨丑对吻边拉