信号与系统教案第4章-01.pptVIP

4.3 周期信号的频谱 4.3 周期信号的频谱及特点 一、信号频谱的概念 周期信号可分解为一系列正弦信号或虚指数信号之和，即 4.3 周期信号的频谱 4.3 周期信号的频谱 例：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。 解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即 显然1是该信号的直流分量。 的周期T1 = 8 的周期T2 = 6 所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = π/12 4.3 周期信号的频谱 是f(t)的[π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量； 是f(t)的[π/3]/[π/12 ]=4次谐波分量； 画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图 对于双边频谱，负频率，只有数学意义，而无实际的 物理意义。为什么引入负频率？ 根据帕斯瓦尔等式，其功率为 4.3 周期信号的频谱 二、周期信号频谱的特点 举例：有一幅度为1，脉冲宽度为?的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。 令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数） 信号与系统 ?西安邮电学院通院信息工程系 第4-*页 ■ 电子教案 第四章 连续系统的频域分析 点击目录 ，进入相关章节 第四章 连续系统的频域分析 点击目录 ，进入相关章节 第四章 连续系统的频域分析 第四章 连续系统的频域分析 傅里叶分析的发展历史 1822 法国数学家，物理学家傅里叶（J.fourler 1768-1830)在研究热传导理论的过程中提出并证明了周期信号可展开为正弦级数的原理。 泊松(Poisson)、高斯（Gauss）等人将这一理论引入电学中，并得到广泛应用。 进入20世纪以后，谐振电路，滤波器，正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的天地。 在通信与控制系统的理论研究和工程应用中，傅里叶分析具有很多优点。 FFT快速傅里叶变换为傅里叶分析赋予了新的生命力。 第四章 连续系统的频域分析 4.1 信号分解为正交函数 一、矢量正交与正交分解 时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；yf(t) = h(t)*f(t)。 本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。 矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义： 其内积为0。即 4.1 信号分解为正交函数 由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集 4.1 信号分解为正交函数 二、信号正交与正交函数集 1. 定义： 定义在(t1，t2)区间的两个函数? 1(t)和? 2(t),若满足 (两函数的内积为0) 则称? 1(t)和? 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。 2. 正交函数集： 若n个函数? 1(t)， ? 2(t)，…， ? n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。 4.1 信号分解为正交函数 3. 完备正交函数集： 如果在正交函数集{?1(t)， ? 2(t)，…， ? n(t)}之外，不存在函数φ(t)(≠0）满足 则称此函数集为完备正交函数集。 例如：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…} 和虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。 ( i =1，2，…，n) 4.1 信号分解为正交函数 三、信号的正交分解 设有n个函数? 1(t)， ? 2(t)，…， ? n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)≈C1?1+ C2?2+…+ Cn?n 如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。 通常使均方误差最小。均方误差为 4.1 信号分解为正交函数 为使上式最小 展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为 即 所以系数 4.1 信号分解为正交函数 代入，得最小均方误差（推导过程见教材） 在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有 上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量