圆的基本概念与性质.doc

圆的有关概念和性质 一 本讲学习目标 1、理解圆的概念及性质，能利用圆的概念和性质解决有关问题。 2、理解圆周角和圆心角的关系；能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。 3、了解垂径定理的条件和结论，能用垂径定理解决有关问题。 二 重点难点考点分析 1、运用性质解决有关问题 2、圆周角的转换和计算问题 3、垂径定理在生活中的运用及其计算 三 知识框架 圆的定义 圆的性质 四 概念解析 圆的定义，有两种方式： ①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，一个端点A随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作，线段OA叫做半径； ②圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 与圆有关的概念： ①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如图1所示 线段AB，BC，AC都是弦； ②直径：经过圆心的弦叫做直径；如AC 是的直径，直径是圆中最长的弦； ③弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC,BAC都是中的弧，分别记作和； ④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆，如是半圆； ⑤劣弧和优弧：像这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像这样大于半圆周的圆弧叫做优弧； ⑥同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆； ⑦弓形：由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形； ⑧等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧； ⑨圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的AOB,BOC是圆心角，圆心角的度数：圆心角的读书等于它所对弧的度数； ⑩ 圆周角：定点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；如图1中的BAC,ACB都是圆周角。 圆的有关性质 ①圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条。圆是中心对称图形，圆心是对称中心，优势旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合。 ②垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，且评分弦所对的两条弧； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且评分弦所对的两条弧。如图2所示。 注意 (1)直径CD，（2）CDAB,(3)AM=MB,(4)=,(5)=.若上述5个条件中有2个成立，则另外3个业成立。因此，垂径定理也称五二三定理，即推二知三。（以（1），（3）作条件时，应限制AB不能为直径）。 ③弧，弦，圆心角之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； 同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，他们所对应的其余各组量也相等； ④圆周角定理及推论 A.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半； B.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。 五 例题讲解 例1. 如图所示，是⊙O上一点，是圆心，若，求 的值. 例2.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=5，∠BOC=50°，OE⊥AC，垂足为E．求OE的长．(2)求劣弧的长(结果精确到)． 如图9所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E．连接AC、OC、BC． （1）求证：ACO=BCD． （2）若EB=，CD=，求⊙O的直径． 课堂练习 1.已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB和CD的距离为( ) A.2cm B.14cm C.2cm或14cm D.10cm或20cm 2.如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，∠AOE=，则∠COE是（ ） A. B. C. D. 3.如图，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB＝2，半圆O的半径为2，则BC的长为（ ） A．B．．D．4.如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE=40°，则∠AOC等于（ ） A.20° B. 40° C. 80° D.100° 5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD∥AC，下列结论错误的是 A．∠BOD＝∠BAC B．∠BOD＝∠COD C．∠BAD＝∠CAD D．∠C＝∠D 6.高速公路的隧道和桥梁最多．图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面=10米，净高=7米，则此圆的半径=（　　） A．5B．7C．D． 7.如图(2),已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是( )