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X 第 * 页 §2.5 冲激响应和阶跃响应 冲激响应 阶跃响应 概述 系统的单位冲激响应h(t)的性质可以表示系统的稳定性和因果性。 h(t)的变换域表示更是分析LTI系统的重要手段。 因此，h(t)是系统分析中非常重要的一个概念，贯穿于本课程的始终。 零状态响应= 一部分自由响应 + 强迫响应 有一种特定条件下的零状态响应：单位冲激响应 一．冲激响应 1．定义 系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。 说明: 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 看响应 ， 不同，说明其系统特性不同， 冲激响应可以衡量系统的特性。 2．一阶系统的冲激响应 响应及其各阶导数(最高阶为n次) 1).冲激响应的数学模型 对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示 激励及其各阶导数(最高阶为m次) 令 e(t)=?(t) 则 r(t)=h(t) 3．n阶系统的冲激响应 设特征根为简单根（无重根的单根） 由于δ(t) 及其导数在 t0+ 时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。 ②与n, m相对大小有关 ①与特征根有关 不包含 及其各阶导数 包含 包含 及其各阶导数 2） h(t) 解的形式 一．冲激响应 二．阶跃响应 系统方程的右端包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，还有特解项。 我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。 1．定义 2．阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性 阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限 对因果系统： 二．阶跃响应 阶跃响应与冲激响应的关系 例2-5-3（教材例2-9、2-10） 解：系统的微分方程为： 求例2-5中系统的电流i(t)对激励e(t)=?(t)的冲激响应h(t)和阶跃响应g(t). 它的齐次解形式为： 求系统的冲激响应h(t) 其满足上方程： 利用冲激函数匹配法求h(0+)及其导数h?(0+)。由于方程右端自由项?(t)的最高阶导数为???(t) 求阶跃响应 方法1：由阶跃响应和冲激响应的关系求解 方法2：直接解方程求解（见教材） 三．齐次解法求冲激响应（补充） 左端最高阶微分中含有?(t)项 (n-1)阶微分中含有u(t)项。 可以由此定初始条件 令方程左端系数为1，右端只有一项?(t)时，冲激响应为 此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更有优越性。 求冲激响应的几种方法 方法1：冲激函数匹配法求出 跃变值，定系数A。 方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。 方法3: 齐次解法求冲激响应。 总结 冲激响应的求解至关重要。 冲激响应的定义 零状态； 单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。 冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 ，看响应 ， 不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。 用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。 X 第 * 页