地球物理非线性反演.ppt

第四章 传统非线性反演方法 （非启发式方法） 地球物理问题大多是非线性的，可以通过参数化和泰勒级数展开法将其转换为线性问题求解。 非线性问题在线性化过程中，由于舍取了高次项，使反演问题的多解性更加严重。 随着计算机发展，非线性反演方法发展很快，除传统的非线性反演方法（非启发式）以外，模拟退火法、遗传算法、神经网络法、小波分析法等启发式反演方法得到了很快发展。 第四章 传统非线性反演方法（非启发式方法） 梯度Gradient 法(最速下降the steepest descent法) 共轭梯度conjugate gradient 法 牛顿法Newton 拟牛顿法（变尺度法） 一、梯度法(最速下降法) 十九世纪中叶由Cauchy提出。 梯度法就是从一个初始模型出发沿负梯度方向收束目标函数?(x)极小点的一种最优化方法。 不难理解，沿目标函数负梯度方向收索，只要步长适当，经过反复迭代，最终总可达到目标函数的极小点。 一、梯度法(最速下降法) 梯度法的关健 初始模型的选择：合适的初始模型，收敛速度快；不合适则可能导致局部极小。 步长大小的选择：太小，收敛速度太慢；太大，收敛不稳定。 一、梯度法(最速下降法) 负梯度方向： ?(x)在任一点x的梯度： 一、梯度法(最速下降法) 步长大小的选择：设经i次收索后模型位置为x(i)，此时负梯度方向为p(i),求步长? (i) 一、梯度法(最速下降法) 令?(x(i+1))=0，得步长? (i)： 一、梯度法(最速下降法) 按上式计算得到步长? (i)后，可沿最速下降方向计算得到新的模型位置x(i+1)： 一、梯度法(最速下降法) 计算?(x(i+1)),若： 成立，说明校正步长可取，继续进行下一次迭代；否则就减小如减小一半，并重复上述步骤，直至目标函数满足 为止，最终求出?(x)极小点。 有时为了简便，保持步长不变。只要 不成立，迭代就结束，认为已经达到最小值。 梯度法的优点是简单，在远离极小点时收敛较快，缺点是在接近极小点时，收敛很慢。 二、共轭梯度法 由初始模型x1沿任一下降方向p1有哪些信誉好的足球投注网站得到x2，根据p1和x2处的梯度方向找到方向p2，使沿p2可有哪些信誉好的足球投注网站得到极小值模型x*。 1、基本思路 为使p2直指极小点， p2必需满足： 满足上式的两个向量，称为共轭向量。利用共轭向量求极小值的办法，称为共轭梯度法。 1、基本思路 Hessian海森矩阵： 1、基本思路 共轭向量的求法： 1、基本思路 迭代步长求法： 1、基本思路 共轭梯度法步骤： （1）由初始模型x1沿任一下降方向p1（可设为负梯度方向-g1)有哪些信誉好的足球投注网站得到x2: 1、基本思路 （2）计算p1的共轭向量p2 ，沿p2有哪些信誉好的足球投注网站得到极小值点x*: 1、基本思路 对二维二次目标函数，从任意初始点x1出发，沿任一下降方向p1作直线有哪些信誉好的足球投注网站得到x2，再从x2出发沿p1的共轭向量方向p2作直线有哪些信誉好的足球投注网站，所得到的x*必是极小点。 对其它目标函数，由上面2步有哪些信誉好的足球投注网站得到的x*不一定是极小点，还需继续有哪些信誉好的足球投注网站。 2、共轭梯度法步骤 共轭梯度法步骤： （1）设k=1，由初始模型x1沿任一下降方向p1（可设为负梯度方向-g1)有哪些信誉好的足球投注网站得到x2: 2、共轭梯度法步骤 （2）判断?(xk+1)??？若成立则有哪些信誉好的足球投注网站结束，否则继续下一步 （3）计算pk的共轭向量pk+1 ，沿pk+1直线有哪些信誉好的足球投注网站下一个极小值位置xk+2 2、共轭梯度法步骤 可以证明：对N维二次目标函数 从任意初始点x1出发，经上面N次迭代，最后得到的xN就是目标函数的极小点。所构成的N个有哪些信誉好的足球投注网站方向相互共轭。 3、 二次目标函数有哪些信誉好的足球投注网站方向相互共轭 证明：N维二次目标函数N个有哪些信誉好的足球投注网站方向相互共轭 3、 二次目标函数有哪些信誉好的足球投注网站方向相互共轭 可证得 因此：p1、 p2、 p3相互共轭，如此下去，可证明N维二次目标函数N个有哪些信誉好的足球投注网站方向相互共轭。 4、共轭梯度简便方法 前面提出的共轭梯度法虽不用计算海森矩阵的逆矩阵，但还是需要计算海森矩阵。 能否进一步简化，不用海森矩阵？ 4、共轭梯度简便方法 若迭代点x充分靠近极小点x*，非二次目标函数可用二次函数来近似： 4、共轭梯度简便方法 （1）式可变为： 4、共轭梯度简便方法 （1）式可简化为Fletcher-Reeves（1964）公式： 4、共轭梯度简便方法 （2）式可简化为 5、共轭梯度Fletcher-Reeves法步骤 （1）设k=1，模型为xk= x1 ，计算函数?(xk)和梯度gk，并令p1=-g1 （2）判断?(xk)??1？ ?? gk ?? ??2？若两者有一个成立则有哪些信誉好的足球投注网站结束，xk为极小值。否则继续下一步 （3）直线有哪些信誉好的足球投注网站计算 5、共轭梯度Fl