大学物理薛定谔方程(老师课件).ppt

用STM得到的神经细胞象 硅表面STM扫描图象 §4 谐振子 1. 势函数 m 振子质量，? 固有频率，x 位移 2. 定态薛定谔方程 3. 能量本征值 谐振子不仅是经典物理的重要模型,也是量子物理的重要模型,如固体中原子的振动即可用此模型。 x n很大 En E1 E2 E0 0 U(x) 4.能量特点： (1)量子化 等间距 符合不确定关系 概率分布特点: E U 区有隧道效应 (2)有零点能 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 薛定谔方程 第27章 薛定谔 Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学 获1933年诺贝尔物理学奖 目 录 §1 薛定谔方程 §2 无限深方势阱中的粒子 Δ §4 一维谐振子 Δ §3 量子隧穿效应 有了德布洛意提出的物质波， 就应有一个与之对应波动方程。薛定谔对此提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。 §1 薛定谔方程 1926年，在一次学术讨论会上，当年轻的薛定谔介绍完德布罗意关于粒子波动性假说的论文后，物理学家德拜（P.Debey）评论说：认真地讨论波动，必须有波动方程。 几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头就兴奋地说：“你们要的波动方程，我找到了！”这个方程，就是著名的薛定谔方程。 薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。 由自由粒子波函数 微分，得 由非相对论粒子能量动量关系式，如自由粒子 这就是一维自由粒子(无势场)的薛定谔方程。 得 一、自由粒子的薛定谔方程 ？推广到粒子在势场U(x, t) 中运动 二、在势场中运动粒子的薛定谔方程 在一维势场 U(x,t) 中的粒子 替换原来的 E 后得到 △ 推广到三维： 一般的薛定谔方程： ▽ 由自由粒子波函数 微分，得 由非相对论粒子能量动量关系式，如自由粒子 这就是一维自由粒子(无势场)的薛定谔方程。 得 一、自由粒子的薛定谔方程 ？推广到粒子在势场U(x, t) 中运动 用分离变量法： 将波函数写成 即 时， 当势能与时间无关， 三、定态薛定谔方程 代入薛定谔方程可得： 该方程不含时间，称为定态薛定谔方程。 定态波函数 振动因子 数学上：E 不论取何值，方程都有解。 物理上：E只有取一些特定值,才能使方程的解满足波函数的物理条件（单值、有限、连续）。 这些特定的E值称为能量本征值 各E值对应的 叫能量本征函数 本征波函数 故该方程又称为：能量本征值方程 定态波函数: 波函数的物理条件 用来描写实物粒子的波函数应满足的物理条件 1.标准条件：单值、有限、连续 因为，粒子的概率在任何地方只能有一个值； 不可能无限大；不可能在某处发生突变。 2.归一化条件 粒子在空间各点的概率总和应为l *在量子力学中用 薛定谔方程式加上波函数的物理条件 求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度 等) 1.由粒子运动的实际情况 正确地写出势函数 U(x) 2.代入定态薛定谔方程 3.解方程 4.解出能量本征值和相应的本征函数 5.求出概率密度分布及其他力学量 量子力学解题的一般思路： 方势阱 是实际情况的极端化和简化 例：金属内部自由电子的运动。 0 x U(x)=0 U= ? a 势函数 U= ? 一、一维无限深方形势阱 § 2 无限深方势阱中的粒子 粒子在0 x a范围内自由运动，但不能到达x ? 0或x ? a范围。 1. 定态薛定谔方程 阱外： 阱内： 根据波函数有限 阱外: 2. 求通解 二、薛定谔方程和波函数 令 阱内: 则： 其通解为 3. 由波函数的标准化条件定特解 (1) 解的形式成为 通解为 处应 已有A=0，要求 ，只能 sinka 等于零 即 (2) 又 单值、有限条件已满足；由连续条件定特解： 1 ) 粒子能量只能取特定的分立值 (能级) 能量量子化 2 )最低能量不为零 波粒二象性的必然结果 讨论 零点能 3 )当n趋于无穷时 能量趋于连续 (3)定常数 B 由波函数的归一化性质 得 于是，波函数(空间部分) 阱内 阱外 考虑到振动因子 是以x = 0 和x = a为节点的一系列驻波解。 4. 定态波函数(包括空间、时