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第三章 刚体的转动 §3-1 刚体的定轴转动 1. 刚体 §3-2 力矩 转动定律 转动惯量 一、 力矩 §3-4 角动量及其守恒定律 一、质点的角动量定理和角动量守恒定律 §3-3 转动动能及动能定理 一、力矩作功 §3-5 刚体的自由度和平面平行运动 一、自由度 例3-8、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆?角时的角加速度和角速度。 解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。 棒上取质元dm,当棒处在下摆?角时，重力矩为： ? X O dmg dm x 重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。 mg C ? dmg X O dm xc 讨论力矩对时间的累积作用，得出角动量定理和角动量守恒定律。 质点的角动量 大小： 方向：右手法则确定 质点的角动量定理 质点的角动量守恒定律 当质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点对该参考点O的角动量为一恒矢量。 定轴转动刚体的角动量 即 对 的角动量： 转轴 角速度 刚体上任一质点 转轴与其转动平面交点 绕 圆周运动半径为 转动平面 二、刚体的角动量定理和角动量守恒定律 刚体定轴转动的特点： (1) 质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不 同的圆周运动； (2) 各质点的角速度 大小相等，且均沿轴向。 定义：质点 对 点的角动量的大小，称为质点对转轴的角动量。 刚体对 z 轴的总角动量为： 式中 ～刚体对轴的转动惯量 刚体的角动量定理 定轴转动刚体的角动量 转动定律 角动量定理的积分形式： 对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内的积累效果，称为冲量矩 右边为刚体对同一转动轴的角动量的增量。 当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。叫做角动量定理 J 改变时, J 不变时, 角动量定理的积分形式： 角动量定理的微分形式： 角动量守恒定律 L不变的含义为： 刚体：J 不变 非刚体：J? 不变 注意： 有两种情况：① ② 通过参考点O，即 但它与轴平行，对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。 讨论： 对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。 =恒量 =恒量 若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 统的角动量依然守恒。J 大→ 小,J 小→ 大。 若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。 子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为： 因, 由两式得 解:以 代表棒对子弹的阻力,对子弹有: 例3-9、如图所示,一质量为m 的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度?。已知棒长为 ,质量 力矩的功： 当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。 力 对P 点作功： 0‘ 0 力矩作功： 对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。 0‘ 0 力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。 ①如果力矩的大小和方向都不变，则 恒力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于力矩的大小与转过的角度的乘积。 ②力矩是变化的，则 力矩的功： 力矩的功率 设刚体在恒力矩作用下绕定轴转动时，则力矩的功率： 二、刚体的转动动能 刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点的动能之和。 则该质点的动能为： 刚体中第i个质点的质量为 ，速度为 : 设质点 离轴的垂直距离为 ，则它的线速度 刚体上所有质元的动能之和为： 刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度二次方的乘积的一半。 刚体上所有质元的动能之和为： 三、刚体定轴转动的动能定理 定轴转动定理: 问题: 力对质点做功使质点的动能变化 力矩对转动的刚体做功同样引起转动动能的变化 外力矩所做元功为： 物体在 时间内转过角位移 时 总外力矩对刚体所作的功为： 刚体定轴转动的动能定理： 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。 四、刚体的重力势能 h hi hc x O m C ?m 一个质元： 整个刚体： 一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。 重力势能 质心： 功能原理和机械能守恒定律 对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内力作功,则此系统的机械能守恒。 功能原理对刚体转动依然成立： 系统的动能包括系统内：平动物体的平动动能  做定轴转动物体的转动