寿险精算 第三讲 人寿保险的趸缴纯保费.ppt

一年递减无穷次（连续递减） 现值随机变量 趸缴保费厘定 2.2.4 趸缴纯保费的换算公式 常用换算符号： 公式推导 由式(2.2.2),可得 连续型寿险趸缴纯保费换算公式 类似可得到 §2.3 在死亡均匀分布下的寿险模型 2.3.1 与 之间的关系 以终身寿险为例，有剩余寿命等于整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命： 则有 类似地,可得到其他公式,参见式(2.3.2) 例子 例2.3.1 设年龄为40岁的人投保连续型的递减的10年定期保险,保险利益是:若被保险人在第一个保单年内死亡,则立即给付受益金10000元;若在第二个保单年内死亡,则立即给付受益金9900元;若在第三个保单年内死亡,则立即给付受益金9800元;依次递减,直至到第十个保单年内死亡,则立即给付受益金9100元.试在死亡均匀分布假设条件下求其趸缴纯保费(预定年利率i=6%). 解: §2.4 递推方程式 2.4.1离散型终身寿险趸缴纯保费的递推方程式 推导: 理解(x)的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于(x)在第一年死亡的情况下1单位的赔付额,或生存满一年的情况下净趸缴保费 。 其他变形 在式(2.4.1)中用 替代 ,且两边乘以 , 可得: 解释： 个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费 ，还可以为所有在当年去世的被保险人提供额外的 。 公式三： 同理,在式(2.4.2)两边乘以 ,可得 解释:-年龄为x的被保险人在活到x+1岁时的净趸缴保费与当初岁时的净趸缴保费之差等于保费的一年利息减去提供一年的保险成本。 2.4.2 连续型终身寿险趸缴纯保费的微分方程式 对于连续型终身寿险,其趸缴纯保费的微分方程式是 推导: 续推导: 求极限: 由于: 即: 补充例子 补充例1 30岁的人购买保额为1000元的特殊的35年期两全保险,已经条件如下 : (1) 在其购买保险时,其两个孩子的年龄分别是3岁和6岁 (2) 特殊约定为:如果被保险死亡时两个孩子的年龄都小于11岁,那么给付额为3000元;如果被保险人死亡时只有一个孩子的年龄小于11岁,那么给付额为2000元. (3) 在被保险人死亡时立即给付保险金 (4) (5) (6) 则此保单的趸缴纯保费为( ) 元. (A) 638 (B) 766 (C ) 777 (D ) 796 (E ) 800 解: 此保单的趸缴纯保费P为: 时间 给付金额 3000 2000 1000 补充例子解答 补充例2 30岁的人购买两年期定期保险,保险金在被保险人死亡的年末给付,保单年度t 的保额为 ,已经条件为: .Z表示给付现值随机变量,则使得Var(Z) 最小的 值为( ). (A) 0.0 (B) 5.0 (C ) 6.8 (D ) 8.6 (E ) 8.9 补充例题解答： K 0 1 =2 概率 0.1 0.9*0.6 Z 0 解： 当 时，Var(Z) 最小。 选择(C ) 2.1.4 变额受益保险 1.递增的n年定期保险 如果保险金额的给付是随着被保险人未来寿命的变化而改变的,这类人寿保险称为变额年金保险，则其有关函数为： 则其趸缴纯保费为： 用换算函数计算 未来寿命K(x) 0 1 2 3 … n-1 给付数额 B ?1 2 ? 3 ? 4 … n ? 贴现系数 V ? ? ? … ? 给付现值 Z ? ? ? … ? 给付概率 p ? ? ? … ? 2.1.4 变额受益保险 2.递减速的n年定期保险 其有关函数为： 则其趸缴纯保费为： 用换算函数计算 未来寿命K(x) 0 1 2 3 … n-1 给付数额 B ?n n-1 ? n-2 ? n-3 … 1 ? 贴现系数 V ? ? ? … ? 给付现值 Z ? ? ? … ? 给付概率 p ? ? ? … ? 例子 例2.1.5 设年龄为30岁的人,购买离散型的递增的30年定期保险,保险利益是:被保险人在第一个保单内死亡,则给付1000元;在第二个保单年度内死亡,则