不定方程的整解修改稿.doc

一次不定方程的整数解讲稿 序言　什么是不定方程 我们知道在方程（方程组）里，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。 例如 2x－y－1＝0，则：y＝2x－1. 分别令x＝1，2，3，4，5，…，就可以求出对应的n值. 我们可以列表说明： x 1 2 3 4 5 6 7 8 … y 1 3 5 7 9 11 13 15 … ∴它的解有无穷多组： ，，，，，……. 也就是说：2x－y－1＝0的所有的解（称为通解）为：y＝2x－1. 注意：上面只列出了它的正整数解. 如果用k代替x，用n代替y，并且k和n只代表正整数，得到的答案是： 2k－n－1＝0的所有的解（称为通解）为：n＝2k－1. n＝1，3，5，7，9，…. 这个结论表明：如果k取一切正整数1，2，3，…，那么n表示所有的奇数（1，3，5，7，9…）. 请记住这个结论：n＝2k－1表示所有的奇数. 又如 x－2y＝300的解是：x＝2y＋300， 每给出一个y的值，就有一个x的值与之对应. 例如y＝0，1，2，3，4，5，…，就可以求出对应的x值， 我们可以列表说明： x 300 302 304 306 … 200 100 … y 0 1 2 3 … －50 －100 … ∴它的解有无穷多个. 又如 方程组， (2)－(1) 消去一个未知数y之后，就变形为一个二元一次方程：2y－z＝80 所以它的解也是不确定的． 像这类方程或方程组就叫不定方程或不定方程组． 例1 有一堆鹅卵石，不知总个数.但知道：每次取3个，最后余2个；每次取5个，最后也是余2个；每次取7个，最后还是余2个；问这堆鹅卵石共多少个? …余 …余 …余 分析与解：实际上这个问题转化为数学问题就是： 有一个正整数，无论被3除，被5除或者被7除，都余2；求这个数. 如果列方程组就是：求个正整数M： 我们不妨这样来解：因为这个整数不论被3除，被5除或者被7除，总是余2；我们先求出它的一个特解：∵3×5×7＝105可以被3、5、7整除， ∴3×5×7＋2被3、5、7除余数都是2， ∴105＋2＝107就是这个问题的一个特解；∵3×5×7 ×n也可以被3、5、7整除，∴这个问题的特解107加上105n之后，被3、5、7除，余数也是2； ∴其通解是107＋105n. 例2 现在把上一个问题改为：每次取3个，最后余2个；每次取5个，最后余3个；每次取7个，最后余2个；问这堆鹅卵石共多少个? …余 …余 …余 分析与解：我们不妨凑凑看，因为这个数被3和7余数都是2， 这个数可能是3和7的最小公倍数21的k倍＋2，即21k＋2： k 21的1倍＋2 21的2倍＋2 21的3倍＋2 21的4倍＋2 … 21＋2＝23 42＋2＝44 63＋2＝65 84＋2＝86 … 23，44，65，86，107，…中哪一个能被5除余3，就是它的特解. 太巧了，第一个23被5除余3，就是它的一个特解，根据上例的分析，其通解是3×5×7n＋23＝105n＋23. 【说明】先求出它的一个特解是问题的关键． 这就是《孙子算经》中的“物不知数”问题． 原题是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三” 意思就是，有一些物品，如果三个、三个的数，最后剩2个；如果五个、五个的数，最后剩3个；如果七个、七个的数，最后剩2个；求这些物品一共有多少？ 注：《孙子算经》是南北朝时一部重要的数学著作。为我国古代《算经十书》之一，《孙子算经》的作者生平和编写年代都不清楚.现在传本的《孙子算经》共三卷. 如果把这个问题列成方程组就是： 设这个数为N，即N等于3的倍数加2，等于5的倍数加3，等于7的倍数加2，求N. 则 这是一个含4个未知数的3个方程，开始时我们已经说过这是不定方程组。要解决这一类问题，还要从二元一次不定方程学起． 下面我们就要研究这一类问题的一般解法。 一、求整系数二元一次不定方程的整数解之1　一般解法 　　求一个不定方程的整数解问题，如果都这样去凑数，就太麻烦了，下面介绍“求整系数的一次方程组的整数解”的一般方法. 【定义】我们把方程ax＋by＝c（系数a，b，c为整数，并且a，b都不为零）叫做二元一次不定方程.（如果a，b之中有一个为零，就不是不定方程了） 对于两个整数a，b，我们约定用记号(a，b)＝d表示a和b的最大公约数，(a，b)＝1表示a，b互质． 我们先研究整系数方程ax＋by＝c中，x、y的系数a，b互质的情况. 即(a，b)＝1，或者说：整数a，b除1之外没有公约数． 例1求整系数方程5x＋21y＝17的整数解． 这里x，y的系数5和21互质，即5和21的最大公约数（5，21）＝1. 分析 求不定方程的整