五年级奥数—完全平方数.docVIP

第八讲 完全平方数 一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如： 0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，…… 判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。 阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示： 分别记各图所示的小石子个数为 (＝1、2、3、……、n)不难发现： ＝1＝ ＝1＋3＝4＝ ＝1＋3＋5＝9＝ ＝1＋3＋5＋7＝16＝ ……… ＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝ 毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。（注：这个和其实就是奇数个数的平方） 【例一】 求自然数列前n个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1） 一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。那么，最后袋中留下多少个球？ 【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？ 练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？ 练习二：＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（ ）。 【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？ 一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？ 【例四】 （01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这200个灯泡按1到200编号，它们的亮暗规则是： 第一秒，全部灯泡变亮； 第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态； 第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态； 第四秒，凡编号为4的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态； 第五秒，凡编号为5的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态； 一般地，第n秒，凡编号为n的倍数的灯泡都改变原来的亮暗状态； 那么第200秒时，明亮的灯泡有（ ）个。 练习一：1～2012中含有奇数个约数的数共有多少个？ 练习二：从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？ 【例五】从1到1998的所有自然数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？ 一讲一练：自然数1～2012中，多少个数乘以12后得到一个完全平方数？ 课后作业： 1、公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了正方形数： · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · …… 他们发现： 1＝1，1＋3＝＝4，1＋3＋5＝＝9，1＋3＋5＋7＝＝16…… 那么第100个图有 个点，第n个图有 个点。 也就是说：从1开始的连续n个奇数的和，等于 。 2、黑板上写有从1开始的若干个连续奇数：1、3、5、7、9……，擦掉其中一个奇数后，剩下的奇数之和为1998。那么擦掉的奇数是多少？ 3、一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是多少？ 4、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是多少岁？ 5、求下面各数的约数个数：45、112、225、660。 6、200名同学面向教官，他们依次从1开始报数，直到200。第一次他们都向后转，第二次报数是2的倍数的同学转回来，第三次报数是3的倍数的同学往后转，第四次报数是4的同学往后转……不断下去，直到最后一次报数是200的倍数的同学往后转。问：这时面向教官的同学有多少个？ 7、从1000到5000的自然数中有奇数个约数的数有多少个？ 8、1～100中的一个数乘以6后，乘积是一个完全平方数，这个数最大是多少？ 9、求一个能被180整除的最小完全平方数。 10、“1993与一个三位数的和”是一个完全平方数，这样的三位数有多少个？ 11、已知一个自然数n满足：12！（即1×2×3×4×……×12）除以n后，商是一个完全平方数，则n的最小值是多少？ 大于100小于10000的完全平方数开平方也能用心算 2008-11-17 湖北省宜昌市第十八中学: 谢玉林 大于100小于10000的完全平方数开平方用心算，正确率达100﹪。现介绍其方法如下: 首先要记住或会心算这几个乘法: 15×15＝2