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人教版必修二圆与方程专题讲义 一、标准方程 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心和半径 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式圆心在原点 过原点 圆心在轴上 条件 方程形式 圆心在原点 过原点 圆心在轴上 圆心在轴上 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 与轴相切 与轴相切 与两坐标轴都相切 1.表示圆方程，则 2.求圆的一般方程方法 ①待定系数：往往已知圆上三点坐标 ②利用平面几何性质 涉及点与圆的位置关系：圆上两点的中垂线一定过圆心 涉及直线与圆的位置关系：相切时，利用到圆心与切点的连线垂直直线；相交时，利用到点到直线的距离公式及垂径定理 3.常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离与半径的大小关系 点在圆内；点在圆上；点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点，圆上一动点，讨论的最值 （2）圆内一点，圆上一动点，讨论的最值 思考：过此点作最短的弦？（此弦垂直） 3.以两点为直径的圆方程为 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法（为圆心到直线的距离） （1）相离没有公共点 （2）相切只有一个公共点 （3）相交有两个公共点 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线与圆相切意味圆心到直线的距离恰好等于半径 （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点 = 1 \* roman i）点在圆外 如定点，圆：，[] 第一步：设切线方程 第二步：通过，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对存在有效，当不存在时，应补上——千万不要漏了. 如：过点作圆的切线，求切线方程. 答案：和 = 2 \* roman ii）点在圆上 若点在圆上，则切线方程为 注：碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果. ③求切线长：利用基本图形， 求切点坐标：利用两个关系列出两个方程 3.直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理及勾股定理 （2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题 例：若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是_________________. 答案： 4.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、对称问题 1.若圆，关于直线，则实数的值为____. 答案：3（注意：时，，故舍去） 变式：已知点是圆:上任意一点，点关于直线的对称点在圆上，则实数_________. 2.圆关于直线对称的曲线方程是________________. 变式：已知圆：与圆：关于直线对称，则直线的方程为_______________. 3.圆关于点对称的曲线方程是__________________. 4.已知直线：与圆：，问：是否存在实数使自发出的光线被直线反射后与圆相切于点？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由. 六、最值问题 方法主要有：（1）数形结合；（2）代换 例：已知实数，满足方程，求： （1）的最大值和最小值；——看作斜率 （2）的最小值；——截距（线性规划） （3）的最大值和最小值.——两点间的距离的平方 七、圆与圆的位置关系 1.判断方法：几何法（为圆心距） （1）外离 （2）外切 （3）相交 （4）内切 （5）内含 2.两圆公共弦所在直线方程 圆：，圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 注：若与相切，则表示其中一条公切线方程； 若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 3．圆系问题 （1）过两圆：和：交点的圆系方程为（） 注：1）上述圆系不包括； 2）当时，表示过两圆交