(HDUAC010版_13)二分匹配及其应用.ppt

ACM程序设计 杭州电子科技大学 刘春英 acm@ 今天， 你开始 了吗？ 本周双星（12）： 第十三讲 二分图及其应用（Bipartite Graph） 主要内容 什么是二分图 二分图的最大匹配 匈牙利算法 二分图的最小顶点覆盖 DAG图的最小路径覆盖 二分图的最大独立集 处理技巧 什么是二分图？ 如果一个图的顶点可以分为两个集合X和Y，图的所有边一定是有一个顶点属于集合X，另一个顶点属于集合Y，则称该图为“二分图”（ Bipartite Graph ） 例1：婚配问题 二分图的最大匹配 在二分图的应用中，最常见的就是最大匹配问题，很多其他的问题都可以通过转化为匹配问题来解决。 如何求二分图的最大匹配呢？ 经典算法： 匈牙利算法 匈牙利算法(求二分图最大匹配) 谈匈牙利算法自然避不开Hall定理 Hall定理：对于二分图G，存在一个匹配M，使得X的所有顶点关于M饱和的充要条件是：对于X的任意一个子集A，和A邻接的点集为T(A)，恒有： |T(A)| = |A| 图示（1）： 图示（2）： 匈牙利算法——基本步骤： 1．任给初始匹配M； 2．若X已饱和则结束，否则进行第3步； 3．在X中找到一个非饱和顶点x0， 作V1 ← {x0}, V2 ← Φ； 4．若T(V1) = V2则因为无法匹配而停止，否则任选一点y ∈T(V1)\V2； 5．若y已饱和则转6，否则做一条从x0 →y的可增广道路P，M←M⊕E(P)，转2； 6．由于y已饱和，所以M中有一条边(y,z)，作 V1 ← V1 ∪{z}, V2 ← V2 ∪ {y}， 转4； 图示（3）： NOTE: 真正求二分图的最大匹配的题目很少，往往做一些简单的变化，比如—— 变种1：二分图的最小顶点覆盖 在二分图中求最少的点，让每条边都至少和其中的一个点关联，这就是 二分图的“最小顶点覆盖”。 实 例 分 析 例2：严禁早恋，违者开除！ 例3：HDOJ_1150 任务安排 有两台机器A和B以及N个需要运行的任务。每台机器有M种不同的模式，而每个任务都恰好在一台机器上运行。如果它在机器A上运行，则机器A需要设置为模式ai,如果它在机器B上运行，则机器A需要设置为模式bi。每台机器上的任务可以按照任意顺序执行，但是每台机器每转换一次模式需要重启一次。请合理为每个任务安排一台机器并合理安排顺序，使得机器重启次数尽量少。 ——ACM/ICPC Beijing 2002 图示： 特别说明: 此题需要注意的一点，具体参见： /forum/read.php?tid=61keyword=%B6%FE%B7%D6 变种2：DAG图的最小路径覆盖 用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点，这就是DAG图的最小路径覆盖问题。 例4：HDOJ_1151 Air Raid 有一个城镇，它的所有街道都是单行的，并且每条街道都是和两个路口相连。同时已知街道不会形成回路。 你的任务是编写程序求最小数量的伞兵，这些伞兵可以访问（visit）所有的路口。对于伞兵的起始降落点不做限制。 Input: 433 41 32 3 “空袭”示意图 结论： DAG图的最小路径覆盖数= 节点数（n）- 最大匹配数（m） 关键：求二分图的最大匹配数 变种3:二分图的最大独立集 HDOJ_1068 Girls and Boys 大学二年级的时候，一些同学开始研究男女同学之间的缘分。研究者试图找出没有缘分同学的最大集。程序的结果就是要输出这个集合中学生的数量。 样本数据： 输入： 70: (3) 4 5 61: (2) 4 62: (0)3: (0)4: (2) 0 15: (1) 06: (2) 0 1 “Girls and Boys”示意图 结论： 二分图的最大独立集数= 节点数（n）— 最大匹配数（m） 关键：求二分图的最大匹配数 Any Questions? 相关练习 201003《ACM程序设计》在线作业（13）—— 二分匹配 附:参考源码(HDOJ-1150) /*hdoj_1150匈牙利算法 月下版 */#includeiostream#includestring#includevectorusing namespace std;bool mark1[100],mark2[100];int list[100];int n,m,edge,num;vectorvectorint v;bool dfs(int to){register int i,point,s = list[to];for(i=0;iv[s].size();i++){point = v[s]