10.3三重积分.ppt

一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 第三节 三重积分 一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 ? 引例: 设在空间有限闭区域 ? 内分布着某种不均匀的 物质, 求分布在 ? 内的物质的 可得 “分割, 近似代替, 求和, 取极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 定义 存在, 若对 ? 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在?上的三重积分. 下列“乘 积和式” 极限 记作 称为体积元素. 即 (1) 在直角坐标系下常写作 (2) 三重积分的性质与二重积分相似. 说明 例如 估值性质、中值定理，还有 (3) 在?上可积. 在有界闭区域 ?上连续 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 投影法 (“先一后二”) 基本方法：化为三次积分. ---“先一后二” (2) ?区域的特点: 说明 (1)次序：先z, 次y, 后x. (3)也可把?投影到yoz坐标面或xoz坐标面上，这样 便可把三重积分化为其他顺序的三次积分. 其中? 为三个坐标 例1 计算三重积分 所围成的闭区域 . 解 面及平面 得 例2 解 例2 解 方法2 截面法 (“先二后一”) 则 例3 解 圆的面积 例4 解 a b c 椭圆面积 在直角坐标系下三重积分计算小结 方法1.“先一后二” 方法2. “先二后一” 具体计算时应根据 两种方法(包含6种形式)各有特点, 被积函数及积分域的特点灵活选择. 2.利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 因此 适用范围: 1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 例5 计算三重积分 解 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中?由抛物面 原式 例6 解 在柱面坐标系下 4 说明 事实上，用柱面坐标计算三重积分时， 3. 利用球面坐标计算三重积分 球面坐标与直角坐标的关系为 坐标面分别为 球面 半平面 锥面 球面坐标系中的体积元素为 球面坐标适用范围: 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;即由球面, 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离. 部分球面,锥面,平面等围成的区域. 例7 计算三重积分 解 在球面坐标系下 所围立体. 其中? 与球面 例8 解 故在球坐标系下所围立体为 积分区域多由坐标面围成 被积函数形式简洁, 或 坐标系 体积元素 适用情况 直角坐标系 柱面坐标系 球面坐标系 变量可分离. 小结 补充: 利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意： 1. 积分区域关于坐标面的对称性； 2. 被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性 例9 利用对称性简化计算 其中积分区域 解 积分域关于坐标面xOy对称， 被积函数是z的奇函数, 所以