复变函数 数学分支概述.pdf

/maths/maths_branch/complex_function_total.htm 复变函数 复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开 平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类 数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i 是虚数单位。 以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变 函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研 究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。 复变函数论的发展简况 复变函数论产生于十八世纪。1774 年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由 复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的 关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程， 把它们叫做 “达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎 曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做 “柯西-黎曼 条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十 八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学 家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人 称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普 拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数 学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯 的学生，瑞典 数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究 工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来 解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量 的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机 机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也 做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多 分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等 学科，对它们的发展很有影响。 复变函数论的内容 复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、 留数理论、广义解析函数等方面的内容。 如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那 么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。 复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。 由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利 用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上 有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作 出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。 黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深 奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数 学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。 复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数 论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零 的解析函数所 实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映 象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。 留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义 比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实 变函数定积 分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理 化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的 时候，计算更加简 洁。 把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的 需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解