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第2章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 第2章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 2.1 数学基础 2.2 矩阵分式描述 2.3 有理分式阵的互质分解 2.4 史密斯-麦克米伦形 2.1 数学基础 2.1 数学基础 1 单模矩阵 1 单模矩阵 方多项式矩阵Q(s)，若detQ(s)是独立于s 方多项式矩阵Q(s)，若detQ(s)是独立于s 的一个非零常数，则称其为单模矩阵。 的一个非零常数，则称其为单模矩阵。 性质： 性质： (1)Q(s)为单模阵Q(s)的逆也是多项式矩阵； (1)Q(s)为单模阵Q(s)的逆也是多项式矩阵； (2)Q(s)为单模阵Q(s)非奇异； (2)Q(s)为单模阵Q(s)非奇异； (3)单模矩阵的逆阵也是单模矩阵； (3)单模矩阵的逆阵也是单模矩阵； (4)单模矩阵的乘积也是单模矩阵。 (4)单模矩阵的乘积也是单模矩阵。 2 2 初等变换： 2 初等变换： (1)行（列）交换； (1)行（列）交换； (2)用一非零实或复数乘以某行或列； (2)用一非零实或复数乘以某行或列； (3)用某行 (列)乘以一个多项式加到另一行 (列)上。 (3)用某行 (列)乘以一个多项式加到另一行 (列)上。 注意： 注意： （1 ）初等行（列）变换初变换的矩阵Q(s)左乘（右乘）初 （1 ）初等行（列）变换初变换的矩阵Q(s)左乘（右乘）初 等矩阵； 等矩阵； （2 ）初等矩阵都是单模矩阵； （2 ）初等矩阵都是单模矩阵； （3）对Q(s)进行一系列初等变换，相当于Q(s)左乘和（或） （3）对Q(s)进行一系列初等变换，相当于Q(s)左乘和（或） 右乘单模矩阵； 右乘单模矩阵； （4 ）单模矩阵可以分解成同维的初等矩阵的乘积，反之，初 （4 ）单模矩阵可以分解成同维的初等矩阵的乘积，反之，初 等矩阵的乘积为同维的单模矩阵。 等矩阵的乘积为同维的单模矩阵。 3 3 公因子和最大公因子 3 公因子和最大公因子 公因子的定义 公因子的定义 • 相同列数的两个多项式矩阵间可以定义右公因子 (是多项式 • 相同列数的两个多项式矩阵间可以定义右公因子 (是多项式 矩阵).假定N(s)和D(s)列数相同,若 矩阵).假定N(s)和D(s)列数相同,若 N (s) N (s)R (s) D (s) D (s)R (s) 则R(s)称为N(s)和D(s)的右公因子. 则R(s)称为N(s)和D(s)的右公因子. • 相同行数的两个多项式矩阵间可以定义左公因子 (是多项式 • 相同行数的两个多项式矩阵间可以定义左公因子 (是多项式 矩阵).假定B(s)和A(s)行数相同,若 矩阵).假定B(s)和A(s)行数相同,若 B (s) Q(s)B (s) A(s) Q(s)A (s) 则Q(s)称为B(s)和A(s)的左公因子. 则Q(s)称为B(s)和A(s)的左公因子. 4 gcd (最大公因子)的定义 gcd (最大公因子)的定义 • gcrd: • gcrd: (1)R(s)是N(s)和D(s)的一个右公因子; (1)R(s)是N(s)和D(s)的一个右公因子; (2)R (s)是N(s)和D(s)的任一个其它右公因子R1(s)的 (2)R (s)是N(s)和D(s)的任一个其它右公因子R1(s)的 左倍式,即R(s)=W(s)R1(s)