直线与平面平行分析.docx

直线、平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝?a?α，b?α，a∥ba∥αa∥α，a?β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝?a∥b2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝?a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a?β结论α∥βα∥βa∥ba∥α【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　×　)(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　√　)(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　×　)(4)空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则EF∥平面BCD.(　√　)(5)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(　×　)1．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n?γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的条件有(　　)A．①或②B．②或③C．①或③D．①或②或③答案　C解析　由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m?γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选C.2．下列命题中，错误的是(　　)A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面答案　C解析　由面面平行的判定定理和性质知A、B、D正确．对于C，位于两个平行平面内的直线也可能异面．3．空间中，下列命题正确的是(　　)A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a?β，b?β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a?α，则a∥β答案　D解析　对于A，b可以在α内，A错；对于B，当a，b相交时才能有β∥α，B错；对于C，b可能在β内，C错；由面面平行的性质知，D正确．4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．答案　解析　因为直线EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF＝AC，又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2，所以EF＝.题型一　直线与平面平行的判定与性质例1　(2014·山东改编)如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面PAD.思维点拨　(2)中可证明平面OFH∥平面PAD.证明　(1)连接EC，∵AD∥BC，BC＝AD，∴BC綊AE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点．又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，FO?平面BEF，AP?平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH?平面OHF，∴GH∥平面PAD.思维升华　判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．(2013·福建改编)如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.(1)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；(2)求三棱锥D—PBC的体积．方法一　(1)证明　如图①，取PB中点N，连接MN，CN.在△PAB中，∵M是 PA的中点，∴MN∥AB，MN＝AB＝3，又CD∥AB，CD＝3，∴MN∥CD，MN＝CD，∴四边形MNCD为平行四边形，∴DM∥CN.又DM?平面PBC，CN?平面PBC，∴DM∥平面PBC.(2)解　VD—PBC＝VP—DBC＝S△DBC·PD，又S△DBC＝6，PD＝4，所以VD—PBC＝8.方法二　(1)证明　如图②，取AB的中点E，连接ME，DE.在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴