知识点215抛物线与x轴的交点(解答).doc

知识点215 抛物线与x轴的交点（解答） 1. （2011?新疆）已知抛物线与轴交于A，B两点（A点在B点左侧），顶点为P． （1）求A、B、P三点的坐标； （2）在直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线的图象，并根据图象写出x取何值时，函数值大于零； （3）将此抛物线的图象向下平移一个单位，请写出平移后图象的函数表达式． x y 考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的图象；二次函数图象与几何变换．分析：（1）令y=0求得点A、B的坐标，根据抛物线的顶点公式求得点P的坐标； （2）首先写出以顶点为中心的5个点的坐标，从而画出图象，结合与x轴的交点，写出x取何值时，函数值大于零； （3）将此抛物线的图象向下平移一个单位，即对应点的纵坐标少1，从而写出函数解析式． 解答：解：（1）令， 解得或 ∴ …… 0 1 2 3 4 …… …… －3 0 1 0 －3 …… 又 = = ∴P(2，1) （2）表格、图象如右图所示： 由图象可知当时，函数值大于零． （3）若将函数的图象向下平移一个单位，则抛物线顶点为（2，0） ∴函数的表达式为 点评：此题考查了抛物线与x轴的交点以及顶点坐标、抛物线的画法以及与不等式之间的关系、抛物线的平移和解析式的变化． 2. （2011?南京）已知函数y=mx2-6x+1（m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； （2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 考点：抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：（1）根据解析式可知，当x=0时，与m值无关，故可知不论m为何值，函数y=mx2-6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）． （2）应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点； ②当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答． 解答：解：（1）当x=0时，y=1． 所以不论m为何值，函数y=mx2-6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）； （2）①当m=0时，函数y=-6x+1的图象与x轴只有一个交点； ②当m≠0时，若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根， 所以△=（-6）2-4m=0，m=9． 综上，若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9． 点评：此题考查了抛物线与x轴的交点或一次函数与x轴的交点，是典型的分类讨论思想的应用． 3. （2011?荆州）如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B（4，2），一次函数y=kx-1的图象平分它的面积，关于x的函数y=mx2-（3m+k）x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值． 考点：抛物线与x轴的交点；一次函数的性质；等腰梯形的性质．专题：计算题． 分析：过B作BE⊥AD于E，连接OB、CE交于点P，根据矩形OCBE的性质求出B、P坐标，然后再根据相似三角形的性质求出k的值，将解析式y=mx2-（3m+k）x+2m+k中的k化为具体数字，再分m=0和m≠0两种情况讨论，得出m的值． 解答：解：过B作BE⊥AD于E，连接OB、CE交于点P， ∵P为矩形OCBE的对称中心，则过点P的直线平分矩形OCBE的面积． ∵P为OB的中点，而B（4，2）， P点坐标为（2，1）， 在Rt△ODC与Rt△EAB中，OC=BE，AB=CD， Rt△ODC≌Rt△EAB（HL），△ODC≌Rt△EBA， ∵P点坐标为（2，1）， ∴2k-1=1，k=1， 过点（-1，0）与P（2，1）的直线平分等腰梯形面积，这条直线为y=kx-1． 2k-1=1，则k=1． ∵关于x的函数y=mx2-（3m+1）x+2m+1的图象与坐标轴只有两个交点， ∴①当m=0时，y=-x+1，其图象与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）； ②当m≠0时，函数y=mx2-（3m+1）x+2m+1的图象为抛物线，且与y轴总有一个交点（0，2m+1）， 若抛物线过原点时，2m+1=0， 即m=- ，此时，△=（3m+1）2-4m（2m+1）=（m+1）2＞0， 故抛物线与x轴有两个交点且过原点，符合题意． 若抛物线不过原点，且与x轴只有一个交点，也符合题意，此时△=（m+1）2=0，m=-1． 综上所述，m的值为：m=0或-1或- ． 点评：此题考查了抛物线与坐标轴的交点，同时结合了梯形的性质和一次函数的性质，要注意数形结合，同时要进行分类讨论，得到不同的m值． 4. （2011?广东）已知抛物线与x轴没有交点． （1）求c的取值范围； （2）试确定直线y=cx+1经过的象限，并说明理由． 考点：抛物线与x轴的交点；一次函数