浅谈分赌注问题.pdf

INTELLIGENCE 人 文 论 坛 浅谈分赌注问题 四川师范大学成都学院 陈勇 摘 要：本文以通俗的语言介绍概率发展史上一个著名的问题—分赌注问题，并 讨论它的简单解法，给出简单的实际应用。 关键词：概率论 分赌注问题 二项概率 分赌注问题是概率论中极其著名一个问题，又称为分点 二、分赌注问题的模型及组合解法 问题或点问题，它对概率论这门学科的形成和发展起过非常 帕斯卡为解决这个问题，提出了一个重要的思想：赌徒 重要的作用。意大利数学家卡尔丹 (G。Cardano) 写出的《游 分得赌注的比例应等于从这以后继续赌下去他们获胜的概率。 戏的机遇学说》，讨论了两人赌博中断，如何分赌本的问 为求甲、乙两人获胜的概率，假设：(1) 甲胜一局的概率为 题。16 世纪，意大利数学家帕乔利 (L。Pacioli)、塔塔利亚 一常数 p ，乙胜一局的概率为q 1−p ；(2) 各局赌博互 (N。Tartaglia)等人也讨论过这种问题。1654 年，法国有个 不影响。根据上述两个假设，可把分赌注问题归纳成如下问题： 叫德·梅耳 (De。Mere) 的赌徒，向法国数学家帕斯卡 (B。 进行某种独立重复试验，设每次试验成功的概率为 p ， Pascal) 提出了分赌注问题。帕斯卡与法国另一位大数学家 失败的概率为1−p ，问在m 次失败之前，取得 n 次成功的 费马 (P。Fermat) 频繁通信，交流这个问题，以求得正确的 概率是多少？ 解法。后来，荷兰数学家惠更斯 (C。Huygens) 获悉后，也对 为了使 n 次成功发生在 m 次失败之前，必须且只需在 该问题进行了深入研究。 前 n +m −1次试验中至少成功 n 次。因为在前n +m −1次 一、问题的提出 试验中至少成功 n 次，那么在前 n +m −1次试验中至多失 甲、乙两个赌徒下了赌注，按某种规则赌博起来，规定： 败 m −1 次，于是 n 次成功发生在 m 次失败之前。另一方 谁赢一局得一分，且谁先得到某个分数就赢得所有的赌注。 面，如果前 n +m −1次试验中成功次数少于 n 次，则在前 但在谁也没有得到获得所有赌注的分数前，由于某中原因赌 n +m −1次试验中失败次数至少为 m 次，这样在 m 次失败 博中止，如果甲还需要得 n 分才能赢得赌注，乙还需要得 m 之前就得不到 n 次成功。由二项概率公式，在n +m −1次试 分才能赢得赌注，那么甲、乙两人该如何分配这些赌注？ 验中有k 次成功的概率为 对于该问题的解法，我们先看比较简单的情形。 Ck p k (1−p )n+m−1−k ， n+m−1 假设甲、乙两人各有赌金32枚金币，约定赢一局得一分， 故在前 n +m −1次试验中至少成功 n 次的概率（记为 先赢三分