第5章指派问题.pptx

运 筹 学( Operations Research );运 筹 帷 幄 之 中;一、0－1变量及其应用 0－1变量常被用来表示系统是否处于某个特定状态，或者决策时是否取某个特定方案。例如: ;在应用中，有时会遇到变量可以取多个整数值的问题。如果用0－1变量来表示，也可以用一组0－1变量来取代。 如x取0－9之间的任意整数时。 x=20x0+ 21x1 + 22x2 + 23x3 ? 9;（1）两个约束中，只有一个起作用。 例：a11x1+a12x2B1 a21x1+a22x2B2 ;（2）互相排斥的多个约束中，只有一个起作用;例5.10 固定费用问题;maxZ=4X1 +5X2 +6X3 –100Y1 –150Y2 –200Y3 ;用4台机床加工3件产品。各产品的机床加工顺序，以及产品I在机床j上加工工时aij见表。;机床1 ： x11+a11 ? x21+ My1 及 x21+a21? x11 + M(1-y1 ) 机床2 ： x22+a22 ? x32 + My2 及 x32+a32 ? x22 + M(1-y2) 机床3 ： x13+a13? x33 + My3 及 x33+a33 ? x13 + M(1-y3) 机床4： x14+a14 ? x24 + My4 及 x24+a24 ? x14 + M(1-y4);（4）目标函数的建立;0－1 整数规划;0－1 整数规划;0－1 整数规划;指派问题;指派问题的数学模型为：;克尼格定理 : 如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数ui，从每一列中分别减去(或加上)一个常数vj，得到一个新的效率矩阵[bij]，则以[bij]为效率矩阵的分配问题与以[aij]为效率矩阵的分配问题具有相同的最优解。;指派问题的匈牙利法求解步骤：;找独立0元素，常用的步骤为：; 若◎ 元素的数目m 等于矩阵的阶数n（即：m＝n），那么这指派问题的最优解已得到。若m n, 则转入下一步。;4) 变换矩阵(bij)以增加0元素 在没有被直线通过的所有元素中找出最小值，没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素；直线交点处的元素加上这个最小值。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第2步。;例5.13 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？;解：1）变换系数矩阵，增加0元素。;3）作最少的直??覆盖所有0元素 ;0;例5.14 已知四人分别完成四项工作所需时间如下表，求最优分配方案。;解：1）变换系数矩阵，增加0元素。;例5.15 已知五人分别完成五项工作耗费如下表，求最优分配方案。;匈牙利法;匈牙利法;匈牙利法;匈牙利法;匈牙利法;匈牙利法;匈牙利法;匈牙利法;匈牙利法;非标准型的指派问题：;1. 最大化指派问题;解: M＝95，令;2. 不平衡的指派问题;3. 一个人可做几件事的指派问题;4. 某事一定不能由某人做的指派问题;解: 1) 这是不平衡的指派问题，首先转换为标准型，再用匈牙利法求解。 2) 由于任务数多于人数，所以假定一名虚拟人，设为戊。因为工作E必须完成，故设戊完成E的时间为M（M为非常大的数），其余效率系数为0，则标准型的效率矩阵表示为：;用匈牙利法求出最优指派方案为：