第一章函数与极限.doc

函数与极限 数列的极限 数列极限的定义 设为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数（无论多么小），总存在正整数N，使得当nN时，不等式 都成立，那么就称数列a是数列的极限，或者称数列收敛于a，记为 或 注：①上面定义中，可以任意给定是很重要的，只有是任意给定的，不等式才能表达出与a无线接近的意思。而定义中的正正整数N是与任意给定的正数有关的，它随的给定而选定。 ②从几何意义上看，“N时，”表示：所有下大于项，至多只数列有限。 ③在数列极限的定义中，若满足条件常数不存在，则称数列，或称数列发散数列，也数列。 数列与其子数列的关系充分条件是其子数列也收敛某个内有定义。如果常数对于任意给定的正数(无论多么小)总存在使得当， 注：只要求函数某内有定义而一般它在点是否有定义或者取什么值 ②反映与A的接近可以任意小说明任意的 ③函数在有没有极限，与有定义并无关系。 的唯一性，则极限唯一的。 的有界性， 函数极限的保号性且0（或A0）,那么就存在常数使得当有(). 注：无连续函数上两点之间的距离有多近，这个函数上两点之间无穷多个点。 某一去心邻域内有(),那么(或)。 函数极限的四则运算法则 和都存在，则函数当时极限也存在，且 1）； 2）. 又若，则当时极限也存在，且有 . 例 中公 P19 例18 （3）（4） 函数的左右极限 函数在点右侧的极限的定义 设函数在（，）内有定义，是一个确定的正数，又设是一个确定数。如果对任意给定的,总存在，当时，有，我们就称是函数在点的右极限，记为 或 或 () 这时也称函数在点右极限存在。 函数在点左侧的极限的定义 设函数在（）内有定义，是一个确定的正数，又设是一个定数。如果对任意给定的,总存在，当时，有,我们就称是函数在点的左极限，记为 或 或 这时也称函数在点左极限存在. 第四节 无穷小的比较 一、定义 设与为在同一变化过程中的两个无穷小， 若，就说是比高阶的无穷小，记为； 若，，就说是比低阶的无穷小； 若，，就说是比同阶的无穷小； 若，就说与是等价无穷小，记为。 注： ①高阶无穷小不具有等价代换性，即：，但，因为不是一个量，而是高阶无穷小的记号； ②显然(iv)是(iii)的特殊情况； ③等价无穷小具有传递性：即； ④未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当时，与既非同阶，又无高低阶可比较，因为不存在； ⑤对于无穷大量也可作类似的比较、分类； ⑥用等价无穷小可以简化极限的运算 【例1】当时，是的高阶无穷小，即；反之是的低阶无穷小；与是同阶无穷小；与是等价无穷小，即。 等价无穷小 初等函数有五类，反三角函数，对数函数，幂函数，三角函数，指数函数，简称反对幂三指，以下是这五类函数的无穷小代换。以下x均趋近于0时的等价代换。 幂函数代换： 指数函数代换： 对数代换： 差代换：1.二次的： 2三次的：(1)三角的： (2)反三角的： 注： 两个重要极限 第一个重要极限公式： 公式的特征：（1）型极限； （2）分子是正弦函数； （3）sin后面的变量与分母的变量相同。 【例3】 求 解：= 【例4】 求 解：= （推导公式：） 第二个重要极限公式: 【例5】 解： 【例6】 解：（换元法） （推导公式：） 第五节 函数的连续与间断 一、函数的连续性 增量： 变量从初值变到终值，终值与初值的差叫变量的增量，记作，即＝－。（增量可正可负）。 函数在点连续的定义：　　 　 设函数＝在点的某个邻域内有定义，如果自变量的增量=趋向于零时，对应的函数增＝也趋向于零，则称函数＝在点处连续。 注：①上述的三个定义在本质上是一致的，即函数在点连续，必须同时 满足下列三个条件：（1） 函数＝在点的某个邻域内有定义（函数＝在点有定义），（2） 存在；（3）。 函数＝在点处左连续、右连续： （1）函数＝在点处左连续(在内有定义，且（即）。 （2）函数＝在点处右连续(在内有定义，且（即）。 注: ①函数＝在点处连续(函数＝在点处既左连续又右连续。 ②函数＝在点处连续是存在的充分条件，而非必要条件。 函数在区间上连续的定义: 如果函数＝在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右连续，在右端