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高等数学教案 第一章：函数与极限 第一节：映射与函数 教学目的与要求：1，解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。 一、集合 1、 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素 1) 2) 元素与集合的关系： 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N，Z，Q，R，N+ 元素与集合的关系： A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作。 如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作 若作且则称A是B的真子集。 空集： 2、 并集： 交集： 差集 ： 全集I 、E 补集： 集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律、 结合律、 分配律 对偶律 ( 笛卡儿积A×B 3、? 开区间 闭区间 半开半闭区间 有限、无限区间 邻域： a 邻域的中心 邻域的半径 去心邻域 左、右邻域 二、映射 1.?????? 映射概念 定义 设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对X中的每一个元素，按法则，在Y中有唯一确定的元素与之对应，则称为从X到Y的映射，记作 其中称为元素的像，并记作，即 注意：1）集合X；集合Y；对应法则 2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一 3) 单射、满射、双射 2、 三、函数 1、 定义：设数集，则称映射为定义在D上的函数 记为 自变量、因变量、定义域、值域、函数值 用、、 函数相等：定义域、对应法则相等 自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝. 例：１) ｙ＝２ 2) ｙ＝ 3) 符号函数 ? 4) 取整函数 （阶梯曲线） 5) 分段函数 2、 1）? (上界、下界；有界、无界) 有界的充要条件：既有上界又有下界。 注：不同函数、不同定义域，有界性变化。 2) 函数的单调性 （单增、单减）在x1、x2点比较函数值 与的大小（注：与区间有关） 3) 函数的奇偶性(定义域对称、与关系决定) 图形特点 (关于原点、Y轴对称) 4)函数的周期性(定义域中成立：) 3、??? 反函数：函数是单射，则有逆映射，称此映射为函数的反函数 函数与反函数的图像关于对称 复合函数：函数定义域为D1，函数在D上有定义、且。则为复合函数。(注意：构成条件) 4、??????? 和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算) 5、?????????? 1) 幂函数： 2)指数函数： 3) 对数函数 4)三角函数 5) 反三角函数 ， 以上五种函数为基本初等函数 6) 双曲函数 注：双曲函数的单调性、奇偶性。 双曲函数公式 反双曲函数： 作业： 同步练习册练习一 第二节：数列的极限 教学目的与要求：理解极限的概念，性质。 教学重点（难点）：极限的概念理解，应用 一、数列 数列就是由数组成的序列。 1）这个序列中的每个数都编了号。 2）序列中有无限多个成员。 一般写成： 缩写为 例 1 数列是这样一个数列，其中 ， 也可写为： 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为 ? 1、? 定义： 则称数列的极限为，记成 也可等价表述： 1） 2） 极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。 ? 二、收敛数列的性质 定理1：如果数列收敛，那么它的极限是唯一 定理2 如果数列收敛，那么数列一定有界 定理3：如果且a0(a0)那么存在正整数N0，当nN时， ? 第三节：函数的极限 教学目的与要求：理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 教学重点（难点）：理解函数左极限与右极限，极限性质 一、极限的定义 1、在点的极限 1）可在函数的定义域内，也可不在，不涉及在有没