第二章第三节有限与无限的问题.docx

第三节 有限与无限的问题 教学目标 了解芝诺悖论的症结和意义 理解有限和无限的联系和区别 掌握潜无限和实无限的简史 教学重点 理解有限和无限的联系和区别 教学过程 引入 高等数学与初等数学的区别？ 更加全面； 更加深刻； 更加细微； 更加本质； 更加理论化； 更加系统化； ………… 从 研究“常量”发展到研究“变量” 从 研究“有限”发展到研究“无限” 初等数学更多地在“有限”的领域里讨论，更多地以“有限”为手段和工具进行讨论； 高等数学则更多地在“无限”的领域里讨论，更多地以“无限”为手段和工具进行讨论。 新授 1.芝诺悖论 悖论：从“正确”的前提出发，经过“正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。 悖论（paradox）具体是指：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。 例如：“甲 是 乙”与 “甲 不是 乙” 这两个命题中总有一个是错的； 但 “本句话 是 七个字”与 “本句话 不是 七个字”又均是对的，这就是悖论。 再如：“万物皆数”学说认为“任何数都可表为整数的比”；但以1为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比，这也是悖论。 1. 外祖母悖论 我会穿梭时空，回到过去，把我自己的外祖母杀了。我外祖母没了，我妈就没了，我也就没了。而我没了，就没有人杀我外祖母，我外祖母就不会死，那我又有了。而有了我，外祖母就没了，我也就没了……这就是悖论，自己与自己就有矛盾。 2.说谎者悖论——自指引发的悖论 “我正在说谎” 有克利特人中的一个本地中先知说：“克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒”(《圣经·提多书》第一章) 3.“说谎者循环” A说：“下面是句谎话。 B说：“上面是句真话。” （1）、芝诺悖论---由无限引出的 芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。 两分法 向着一个目的地运动的物体，首先要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2如此类推，以至无穷，永远不能到达终点。结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能开始的。 阿基里斯(Achilles)悖论：阿基里斯追不上乌龟。 飞矢不动悖论 一支飞行的箭是静止的： 由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态。 “操场或游行队伍” A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的C看来，比如说，A、B都在1小时内移动了2公里；可是，从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。由于B保持等速移动，所以移动2公里的时间应该是移动4公里时间的一半。因而一半的时间等于两倍的时间。 2. 症结——“有限与无限”的矛盾 无限段长度的和，可能是有限的； 无限段时间的和，也可能是有限的。 3. 芝诺悖论的意义： 1）促进了严格、求证数学的发展 2）较早的“反证法”及“无限”的思想 3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：空间和时间有没有最小的单位？ 芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，“运动只是假象，不动不变才是真实”。 芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献。 “有无限个房间”的旅馆 有限和无穷的这个特点可以从下面的小故事反映出来，这个故事据说是希尔伯特说的。 某一个市镇只有一家旅馆，这个旅馆与通常旅馆没有不同，只是房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为 1，2，3，4，……我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。这个旅馆的房间可排成一列的无穷集合(1，2，3，4，…)，称为可数无穷集。 有一天开大会，所有房间都住满了。后来来了一位客人，坚持要住房间。旅馆老板于是引用“旅馆公理”说：“满了就是满了，非常对不起！”。正好这时候，聪明的旅馆老板的女儿来了，她看见客人和她爸爸都很着急，就说：“这好办，请每位顾客都搬一下，从这间房搬到下一间”。于是 1 号房间的客人搬到 2 号房间，2 号房间的客人搬到 3 号房……依此类推。最后 1 号房间空出来，请这位迟到的客人住下了。 1. “客满”后又来1位客人（“客满”？） 1 2 3 4 ┅ k ┅ ↓ ↓