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现代控制理论基础_周军_第五章状态反馈与状态观测器
5.1 状态反馈与极点配置
?
以单输入-多输出受控对象动态方程为例:
?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?(5-1)
将对象状态向量通过待设计的参数矩阵即状态反馈行矩阵 ,负反馈至系统的参考输入 ,于是存在
??? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?(5-2)
这时便构成了状态反馈系统,见图5-1。
图5-1? 状态反馈系统结构图
?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?(5-3)
???? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?(5-4)
式中v为纯量, 为 维向量, 为 维矩阵, 为 维向量, 为 维行矩阵, 为 维向量, 为 维矩阵。 为闭环状态阵, 为闭环特征多项式。
?
二、用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是:受控对象能控
证明? 若式(5-1)所示对象可控,定可通过 变换 化为能控标准形,有
若在变换后的状态空间内引 维状态反馈矩阵 :
??? ?? ?? ?? ? ? ? ???? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??(5-5)
其中 分别为由状态变量 引出的反馈系数,则变换后的状态反馈系统动态方程为:
? ?? ?? ?? ? ? ? ???? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? (5-6)
? ?? ?? ???? ??? ? ? ? ???? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ????(5-7)
式中
?? ? ??? ? ???? ????? ?(5-8)
该式与 仍为能控标准形,故引入状态反馈后,系统能控性不变。特征方程为:
?? ? ??? ? ???? ? (5-9)
显见,任意选择 阵的 个元素 ,可使特征方程的 个系数满足规定要求,能保证特征值(即闭环极点)任意配置。
将逆变换 代入式(5-6),可求出原状态空间内的状态反馈系统状态方程:
?? ?? ???? ??? ? ? ????? ?? ?? ?? ?? ?? ??(5-10)
与式(5-3)相比,式(5-10)所示对象应引入状态反馈阵 为:
?? ?? ???? ??? ? ? ??????? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?(5-11)
需指出,当受控对象可控时,若不具有能控标准形形式,并不必象如上证明那样去化为能控标准形,只要直接计算状态反馈系统闭环特征多项式 ,这时,其系数为 的函数,与给定极点的特征多项式系数相比较,便可确定 。
能控的多输入-多输出系统,经如上类似分析可知,实现闭环极点任意配置的状态反馈阵K为 维。
若受控对象不稳定,只要有能控性,完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。状态变量受控情况下,引入状态反馈表示增加一条反馈通路,它能改变反馈所包围环节 的传递特性,即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。不能控状态变量与控制量无关,即使引入状态反馈,对闭环极点位置也不会产生任何影响,这是因为 传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。若不能控状态变量是稳定的状态变量,那么系统还是能稳定的,否则,系统不稳定。
经典控制理论中用调节开环增益或串、并联校正装置配置极点时,其可调参数有限,而状态反馈的待选参数多了,能使系统性能改善得更好,不过实现状态反馈也是相当复杂的,尤其在系统阶次较高时,测量全部状态变量是需要克服的障碍。
?
三、????????????
单输入-多输出或单输出系统,引入状态反馈后,系统闭环零点没有改变,但该性质不适用于多输入-多输出系统。如式(5-1)所示对象经 变换后传递矩阵 为:
?? ?? ?? ?? ?? ?? ?(5-12)
而引入状态反馈阵 后的传递函数阵 为:
??? ? (5-13)
显见式(5-12)与式(5-13)的分子部分相同。要注意到,闭环零点对系统动态性能影响很大,在规定待配置的极点时,必须充分考虑零点的影响。
状态反馈不一定能保持受控对象原有的能观测性。不难想象,当任意配置极点导致零、极点相消时,可将原有的能观测性变为不能观测的;也有能能使原有的不能观测性变为能观测的。若受控对象不含零点,状态反馈自然能保持原有能观测性。
选择状态反馈阵元素时,要防止数值过大,以免对动态性能产生不良影响及物理实现不易。配置极点时也并非离虚轴愈远愈好,以免造成频带过宽使抗干扰性降低。
例5-1设受控对象传递函数为
试用状态反馈使闭环极点配置在 。
解? 传递函数无零、极点对消,故可控。写出能控标准形实现:
状态反馈阵
状态反馈系统特征方程:
根据两特征方程同次项系数相等的条件,可求出由 引出的反馈系数为:
故???????????
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