矩阵的初等变换与标准形，矩阵的秩.ppt

1 初等变换与矩阵等价 小结 本节先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法．内容丰富，难度较大. 矩阵的初等变换与标准形，矩阵的秩 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)． 逆变换 逆变换 逆变换 等价关系的性质： 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解， 就称这两个线性方程组等价 例1 试用初等行变换把B化成阶梯形矩阵： 2 矩阵的标准形 特点： （1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）、每个台阶 只有一行， 台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元． 注意：行阶梯形矩阵非零行的行数也是由矩阵唯一确定的． 行阶梯形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形． 例如， 特点： 所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简单的矩阵.