求点的轨迹方程的六种常见方法.ppt

定义法 若题设有动点到两点的距离之和或差为定值等条件时，可以利用圆锥曲线的定义直接写出所求动点的轨迹方程。此类问题相对也非常简单，因此单独出现的可能性也很小，可能作为一个中间步骤出现。 以下举一个例子说明： 1.定义法 直译法 动点直接与已知条件联系，直接列动点的关系式，即可求得轨迹方程，此类问题非常容易，现在的高考已经不可能单独考察此类问题，即使出现也将是某个题目的一个中间步骤。 以下举一个例子说明： 2.直译法 求与圆x2+y2-4x=0外切且与Y轴相切的动圆的圆心的轨迹方程。 P A B x y o 变式：外切改为相切呢？ 解：设动圆圆心为P(x,y). 由题，得 即 -4x+y2=4|x| 得动圆圆心的轨迹方程为y=0(x0),或y2=8x(x0) 相关点法 如果动点P（x,y）依赖于已知曲线上另一动点Q（u,v）(这种点叫相关动点)而运动，而Q点的坐标u、v可以用动点P的坐标表示，则可利用点Q的轨迹方程，间接地求得P点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法叫做变量代换法或相关点法.此类问题的难度属中档水平，可能在选择题或填空题出现，也可能在解答题中出现，属于小题中较难的题目但属于大题中较易的题目。 以下举一个例子说明： 3.相关点法 过双曲线x2-y2=1 上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程. 解:设点P,Q的坐标分别为P(x,y),Q(u,v),则N点坐标为(2x-u,2y-v). 点N在直线x+y=2上, 2x-u+2y-v=2 ① 又PQ垂直于直线x+y=2, 所以 ② 联立① ②得: 又点Q在双曲线上,即u2-v2=1,即得动点P的轨迹方程为: 2x2-2y2-2x+2y-1=0 如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线 ：x2+2y2=4交于C,B两点.作平行四边形OBPC，求点P的轨迹。 A o x y B C P G 解法一：利用韦达定理 解法二：点差法 连PO交CB于G. 设P(x,y), G(x0,y0), C(x1,y1),B(x2,y2),则 x12+2y12=4 x22+2y22=4 作差，得(x2-x1) (x2+x1)+ (y2-y1) (y2+y1)=0 即x0+y0k=0 又k= 解得， x0= y0= x= y= 因此 消去k,得(x+3)2+y2=9 故所求轨迹为(-3,0)为圆心，3为半径的圆. ? 4.参数法 交轨法 若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交线的方程，即为所求动点的轨迹方程。这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。此类问题难度较大，曾经在高考压轴题中出现过，但不论复杂程度如何，牢牢把握曲线相交的性质就把握了解题的关键。 以下举两个例子说明： 5.交轨法 依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a) 设 =k(0≤k≤1),由此有 E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-4ak) x y 变式 (2003年高考第22题变式)已知常数a0,在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O为AB中点，点E,F,G分别在BC、CD、DA上移动，且 ,P为GE与OF的交点,求点P轨迹方程。 A B C D E F G o P 直线OF的方程为 2ax+(2k-1)y=0……………① 直线GE的方程为 -a(2k-1)x+y-2a=0…………② 从①②消去参数k，得点P(x,y)坐标满足方程2a2x2+y2-2ay=0 (去掉（0，0）） 解：以AB所在直线为x轴,过o垂直AB 直线为y轴,建立如图直角坐标系. 几何法 运用平面几何的轨迹定理和有关平面几何的知识，分析轨迹形成的条件，求出轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为几何法。在解决某些复杂问题时，深入分析图形性质，利用此种方法，可能非常简便。 以下举一个例子说明： 6.几何法 定义法 直译法 也称相关点法: 所求动点M的运动依赖于一已知曲线上的一个动点M0的运动,将M0的坐标用M的坐标表示,代入已知曲线,所的方程即为所求. 参数法:动点的运动依赖于某一参数(角度、斜率、坐标等)的变化,可建立相应的参数方程,再化为普通方程. 一、求动点的轨迹方程的常用方法 二、注意 1、化简要等价变形，且能结合图形对题意的检验 2、要区分轨迹与轨迹方程 3、如何合理引参？ 五类参数：点坐标，斜率，比例，角度，长度等