流体力学_第二章_4节.ppt

第二章 流体静力学 §2-4 液体的相对平衡 第二章 流体静力学 第二章 流体静力学 第二章 流体静力学 第二章 流体静力学 第二章 流体静力学 第二章 流体静力学 第二章 流体静力学 第二章 流体静力学 第二章 流体静力学 如果液体相对于地球有运动，但液体本身各质点之间却没有相对运动，这种运动状态称为相对平衡。例如相对于地面做等加速（或等速）直线运动或等角速度旋转运动的容器中的液体，便是相对平衡液体。 研究处于相对平衡的液体中的压强分布规律，最好的方法是采用理论力学中的达朗伯原理，即将坐标系置于运动容器上，液体相对于该坐标系是静止的。 注：与重力场中的平衡液体所不同的是，相对平衡液体中的质量力除了重力外，还有牵连惯性力。 ●等角速度旋转容器内液体的相对平衡 如图圆筒作匀角速转动ω，求其中液体的压强分布规律和等压面形状。 将坐标系固连于转筒，并建如图坐标系。考虑距底壁为z ,半径为r 处单位质量流体，会受到一个向下的质量力大小为g ,此外还受到一个向外的牵连离心惯性力大小为ω2r。 对于液体内任一点A(x，y，z)， 三个方向的质量力为： 将质量力代入流体平衡微分方程可得： 积分得： 由自由面条件定出积分常数：坐标原点（r = 0 ， z = 0） 时, p = p0 ，可求得积分常数 C =p0， 带入上式，得： 或： 这是等角速度旋转直立容器中液体静压强分布规律的一般表达式。 （2-2） 若p为任一常数，则得等压面族（包括自由液面）方程为： 由此可见，等角速度旋转直立容器中液体的等压面是一族绕z轴的旋转抛物面。 对于自由液面， p = pa=p0 ，令zs为自由液面上某点的垂直坐标，则可得自由液面为： 代入式（2-2）中，得 式中h=zs-z是液体中任意一点的淹没深度。注：各点的静压强随淹没深度的变化仍是线性关系；但是各点的静水头却不等于常数。 此外压强分布还与旋转角速度的平方ω2 成正比，如旋转角速度很大，这个质量力可以很大 ，从而一定半径处的压强会很大。 由于随半径不同各处的惯性离心力不同，因此合成的惯性力方向随半径而变化，这是旋转平衡液体的等压面成为抛物面形状的原因。 旋转液体的特点在在工程中也有很重要的应用，例如旋转铸造或离心铸造等，对于铸造薄壁容器、列车车轮等有重要意义。 在生产实践中，可根据旋转容器中液面高度的变化，来测定容器的旋转角速度ω的大小。 先计算一下回转抛物体的体积 由自由表面的方程式: 在oxy坐标平面以上的回转抛物体内的液体体积为： 容器内抛物体的高度差ΔH为： 这说明圆筒型容器中的回转抛物体体积恰好是高度为最大高度差ΔH的圆柱体体积的一半。回转抛物体的这一数学性质对于解决等角速度回转的相对平衡问题很有用处。 根据液体的不可压缩性，旋转前后，容器内液体的体积应该保持不变。由图可见，H2、H1和H0之间有关系式： 化简后可得： 又有： 由前面两式。消去H2，则得： 在通常的情况下，圆筒半径R和未旋转前筒内液面高度H1为已知量，由上式可见，旋转后的自由面中心处高度H0和旋转角速度ω成一一对应关系。测得高度H0，即可用上式求得容器旋转角速度ω的大小。 注：有H2、H1和H0之间的关系式，知道H2一样可以求得ω。 一、顶盖中心开孔通大气 如图所示，顶盖中心开孔并通大气的直立圆筒容器内盛满液体。当圆筒容器以等角速度ω绕中心轴旋转时，由于受容器顶盖的限制，液面不能形成旋转抛物面，但液体内各点的静压强仍按旋转抛物面分布。作用在顶盖（z=0）上各点的相对压强为： 如图可见，相对压强pe在旋转轴心（r=0）处最小，在边缘(r=R)最大，且与r2、ω2成正比。离心铸造法就是根据这个原理，通过离心铸造机的高速旋转来增大铸模外缘处液态金属的压强，从而得到较为密实的铸件。 二、顶盖边缘开孔通大气 如图所示，顶盖边缘开孔并通大气的直立圆筒容器内盛满液体。当圆筒容器以等角速度ω绕中心轴旋转时，由于容器内部产生真空，液体无法流出，液面同样不能形成旋转抛物面，但液体内各点的静压强仍按旋转抛物面分布。作用在顶盖（z=0）上各点的真空值为： 如图可见，真空值pv在旋转轴心（r=0）处最大，且与ω2成正比。离心式水泵或风机就是根据这个原理，通过叶轮的高速旋转在叶轮中心处形成真空把水或空气吸入壳体，再借叶轮高速旋转所产生的离心惯性增大能量后，由出口输出。