热点专题立体几何的综合问题.ppt

热点专题突破系列(四) 立体几何的综合问题;考点一 平行、垂直关系的证明与体积的计算 【考情分析】以空间几何体(主要是柱、锥或简单组合体)为载体,通过空间平行、垂直关系的论证命制,主要考查公理4及线、面平行与垂直的判定定理与性质定理,常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查,考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想,一般以解答题的形式出现,难度中等.;【典例1】(2014·重庆高考改编)如图所示, 在四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形, PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD= ,M为BC上一点, 且BM= ,N为AB上一点,且BN= . (1)证明:MN∥平面PAC. (2)证明:BC⊥平面POM. (3)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积.;【解题提示】(1)只需证明MN∥AC即可. (2)在平面POM内可以找到OM,PO与BC垂直,从而得出结论. (3)直接利用体积公式求解即可.;【规范解答】(1)因为BM=BN= , 所以 所以MN∥AC. 又MN?平面PAC,AC?平面PAC, 所以MN∥平面PAC.;(2)因为ABCD为菱形,O为菱形中心,连接OB,则AO⊥OB. 因为∠BAD= ,故OB=AB·sin =1, 又因为BM= ,且∠OBM= , 在△OBM中, OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM;所以OB2=OM2+BM2,故OM⊥BM,故OM⊥BC. 又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC. 从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直, 所以BC⊥平面POM.;(3)由(2)得,OA=AB·cos∠OAB=2× 设PO=a,由PO⊥底面ABCD知,△POA为直角三角形, 故PA2=PO2+OA2=a2+3. 由△POM也是直角三角形,故PM2=PO2+OM2=a2+ . 连接AM,在△ABM中, AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM;由已知MP⊥AP, 故△APM为直角三角形,则PA2+PM2=AM2, 即 得 (舍去), 即PO= 此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB = ·AO·OB+ ·BM·OM 所以四棱锥P-ABMO的体积;【规律方法】 1.空间两直线位置关系的判定方法 (1)对于平行直线可通过作辅助线,利用三角形或梯形中位线的性质及线面平行与面面平行的性质定理. (2)垂直关系可采用线面垂直的性质解决.;2.空间线面的位置关系的判定方法 (1)证明直线与平面平行,设法在平面内找到一条直线与已知直线平行,解答时合理利用中位线性质、线面平行的性质,或构造平行四边形,寻求比例关系确定两直线平行. (2)证明直线与平面垂直,主要途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.解题时注意分析观察几何图形,寻求隐含条件.;3.空间面面的位置关系的判定方法 (1)证明面面平行,需要证明线面平行,要证明线面平行需证明线线平行,将“面面平行”问题转化为“线线平行”问题. (2)证明面面垂直,将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题,再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.;4.计算几何体体积的关键及注意点 计算几何体的体积时,能直接用公式时,关键是确定几何体的高,而不能直接用公式时,注意进行体积的转化.;【变式训练】(2015·杭州模拟)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AB⊥BB1,AC=BC=BB1=2, D为AB的中点,且CD⊥DA1. (1)求证:平面A1B1B⊥平面ABC. (2)求多面体DBC-A1B1C1的体积.;【解析】(1)因为AC=BC,D为AB的中点, 所以CD⊥AB,又CD⊥DA1,AB∩DA1=D, 所以CD⊥平面A1B1B, 又因为CD?平面ABC, 故平面A1B1B⊥平面ABC.;(2)因为平面A1B1B⊥平面ABC,平面A1B1B∩平面ABC=AB,BB1?平面 A1B1B,AB⊥BB1,所以BB1⊥平面ABC,因此 =S△ABC·|AA1|- S△ADC·|AA1|=S△ABC·|AA1|- S△ABC·|AA1|= S△ABC·|AA1|= .;【加固训练】(2013·江西高考)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥ 面ABCD,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD= ,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3. (1)证明:BE⊥平面BB1C1C. (2)求点B1到平面EA1C1的距离.;【解析】(1)过点B作CD的垂线交CD于点F,则BF=AD= , EF=AB-DE=1,FC=2. 在Rt△BFE中,BE= ,在Rt△CFB中,BC= . 在