回归分析(5.ppt

第10章 非线性回归; 线性回归的理论较为成熟，应用也较为广泛。但当被解释变量与解释变量之间呈某种曲线关系时，就必须用非线性回归。 本章首先介绍可线性化的非线性回归，然后介绍多项式回归，最后简要介绍了一般的非线性回归模型。;§1 可线性化的非线性回归;1. 线性化的含义及途径 因为线性回归的“线性”是针对参数而言，而不是针对自变量而言，所以有些非线性回归模型可以通过变量代换转化为线性回归模型。 例如，; 对模型1，只要令 即可化为线性回归模型 对模型2，令 原模型化为多元线性回归模型; 对模型3，可先两边取对数，得 然后再令 原模型化为线性回归模型; (1) 新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。若模型1中的b未知，则模型1不能线性化。 可线性化的非线性回???模型称为本质线性回归模型，不可线性化的非线性回归模型称为本质非线性回归模型。; (2) 非线性化模型能否线性化不仅与回归函数的形式有关，而且与误差项的形式也有关。 例如，模型3的误差项为乘性误差项，可以线性化，而模型4的误差项为加性误差项，不可以线性化。 在对非线性回归模型进行线性化时，总是假定误差项满足可线性化条;析，所以通常略去误差项，而仅写出回归函数。 例如，模型3常简记为 。 2. 常用可线性化的曲线回归方程 SPSS中给出了11种常见的可线性化的非线性回归方程，见下表。;; 显然，上述曲线中的复合函数、增长函数和指数函数等价，只是形式不同。 若选用上述曲线进行回归，只需选用分析-回归-曲线估计菜单即可,而不必做任何变换。 除了上述曲线外，还有下列几种常用回归曲线。; (1) 双曲函数; (2) S型函数II; 此函数显然有两条渐近线y=0和y =1/a。 S型函数有多种，其共同特点是曲线首先缓慢增长，在达到某点后迅速增长，在超过某点后又缓慢增长，最终趋于一个稳定值。 S型函数在许多领域都有广泛的应用，例如产品的销售量、农作物的;生长、病毒的传播速率与时间的关系等都可以用S型函数研究。 SPSS中的S型函数y=exp(b0+b1/t)当b10时属通常意义的S型函数; 当b1 0时不属通常意义的S型函数。 另外，SPSS中的Logistic函数也是S型函数。; 例10.1 对下表中的GDP数据进行非线性回归。 解 首先做数据散点图。 分析-回归-曲线估计。 分别选线性和复合函数进行回归,结果见下。; ; ; ; ; ; 需要说明的是，回归分析的一个重要应用是预测，而预测的方法有多种，如拟合(回归)、灰色模型、时间序列和神经网络等。 相比较而言，Origin的拟合功能更强，提供了更多的线型，可以图形的帮助下选择较合适的线型。; ;§2 多项式回归; 多项式回归是一种较为重要的非线性回归模型，有较广泛的应用。 1. 几种常见的多项式回归模型 常见的多项式回归模型有一元二次模型 和一元三次模型; 三次及以上的多项式回归模型较少使用，因为此时回归系数的解释比较困难，回归模型的数值稳定性也不太高，不利于应用。 多元多项式回归比较复杂，较少使用。二元多项式回归模型为;2. 多项式回归应用实例 例10.2 根据下表研究给定年龄组内经理的人寿保险额y与年均收入x1和风险反感度x2的关系。 研究者认为年均收入与人寿保险额有二次关系，风险反感度与人寿保险额只有线性关系，年均收入风险反感度对人寿保险额有无交互效应不得;而知。 为此，研究者选用二元二次多项式回归模型 并检验交互效应和风险反感度的二次效应。; ; 为了清楚地看到各项对回归的贡献，使显著性检验更加明确，采用逐个引入自变量的方法。 首先由x1和x2的值求出 的值，然后用下列方法依次引入变量 ： 先选入y和x1, 然后下一张，再选入x1, x2 , 然后再下一张,