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密切平面、副法线的基础知识复习与练习 1 密切平面、副法线的定义： 过曲线上P点的切线和P点的邻近一 点Q可作一平面，当Q点沿着曲线趋于 P点时平面的极限位置 称为曲线在P 点的密切平面。密切平面在P点的法线称为曲线在P点的副法线。 2 密切平面、副法线的方程 设曲线(c)为类曲线，P点的径矢 。 ‖，当时， 。 如果，则该矢量为密切平面法线上的一个非零矢量，它和P点完全确定了密切平面，方程是： 副法线方程： 副法线的标准方程是： 。 注：①若，表示的点处密切平面不存在。这样的点叫逗留点，否则叫非逗留点。以后总假定曲线上的点是非逗留点。 ②密切平面是在P点与曲线最“贴近”的平面。 3．结论: 曲线(C)是平面曲线曲线(C)的密切平面固定。 证明：“” 若(C)是平面曲线，由密切平面定义，曲线在每一点的密切平面都是曲线(C)所在平面，因此密切平面固定。 “”：如果曲线(C)的密切平面固定，则这个固定的密切平面经过曲线上每一点，所以曲线是平面曲线。 练习 ： 1．求圆柱螺线=a，=a，= b在任意点的密切平面的方程。 解 ={ -a,a,b},={-a,- a,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为 = 0 ，即(b)x-(b)y+az-abt=0 . 2. 求曲线 = { t,t,t } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。 解 原点对应t=0 , (0)={ +t,- t,+t={0,1,1}， {2+ t,- t,2+t ={2,0,2} ， 所以切线方程是 ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是=0 ，即x+y-z=0 ， 主法线的方程是 即 ； 从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式 。 3．证明圆柱螺线=a，=a，= b的主法线和z轴垂直相交。 证 ={ -a,a,b}, ={-a,- a,0 } ，由⊥知为主法线的方向向量，而 所以主法线与z轴垂直；主法线方程是 与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。 4.在曲线x = coscost ,y = cossint , z = tsin的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。 解 = {-cossint, coscost, sin } , ={ -coscost,- cossint , 0 } {sinsint ,- sincost , cos } 新曲线的方程为={ coscost + sinsint ，cossint- sincost ，tsin + cos } 对于新曲线={-cossint+ sincost ，coscost+ sinsint，sin }={sin(-t), cos(-t), sin} , ={ -cos(-t), sin(-t),0} ,其密切平面的方程是 即 sin sin(t-) x –sin cos(t-) y + z – tsin – cos = 0 . P Q