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All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院? * * 12.11 近似法计算自振频率 近似法通常有三种途径： (1) 能量法：对体系的振动形式给以简化假设，但不改变结构的刚度和质量分布，然后根据能量守恒原理求得自振频率。 (2) 集中质量法：将体系的质量分布加以简化，以集中质量代替分布质量，用有限自由度体系代替无限自由度体系求频率。 (3) 迭代法：采用近似算法求解，算出自振频率。 12.11.1 能量法求第一自振频率——瑞利(Rayleigh)法 瑞利法适用于求第一自振频率；瑞利—里兹(Rayleigh-Ritz)法是其推广形式，可用于求最初几个频率。 1.出发点(依据) 瑞利法的出发点是能量守恒原理，即一个无阻尼的弹性体系自由振动时，它在任一时刻的总能量(应变能U与动能T之和)应当保持不变，即 机械能=应变能(U)+动能(T)=常数 2.位移速度表达式 3、梁的动能: 其最大值为: 其最大值为 4.梁的弯曲应变能 由此，求得计算频率的公式为 上式就是瑞利法求自振频率的公式。 5.应用能量守恒原理 根据能量守恒原理，可知 Tmax=Umax 6.能量法的关键 能量法的关键是假设振型函数 ： 1) 若假设的位移形状函数正好与第i个主振型相符，则可求得该wi的精确值。此法一般用于计算第一自振频率w1。 2) 振型函数 的假定原则：应满足边界条件—— 两端位移边界条件(必须满足) 3) 通常对 作如下选择： 其一，选取某个静力荷载q(x)(例如结构自重)作用下的弹性曲线作为 的近似表示式，由式可求得第一频率的近似值。此时，应变能可用相应荷载q(x)所做的功来代替，即 因而可改写为 其二，选取结构自重作用下的变形曲线作为 的近似表达式(注意，如果考虑水平振动，则重力应沿水平方向作用)，则应变能可用重力所做的功来代替，即 于是前式可改写为 解： (1) 假设振幅曲线 为 满足几何边界条件和力的边界条件中梁端弯矩非零的要求，但梁端剪力为零则与实际情况不符。 (a) 【例12-34】试用瑞利法计算图示等截面两端固定梁的第一自振频率。设EI＝常数，梁单位长度的质量为 。 故第一自振频率 与精确值 相比，其误差为+1.9%。 (2)改取均布荷载q作用下的挠度曲线 作为振型函数，这时， 满足全部边界条件。 得 (b) 故第一自振频率 与精确值相比，其误差为+0.4%。 【讨论】由以上结果可以看出：所选的两种振型函数，或是大部或是全部符合边界处位移和力的实际情况，因此所得结果误差都很小。由于第二种振型函数更接近第一振型，所得结果精度更高。 【例12-35】试用瑞利法计算图示三层刚架的第一自振频率。 解： (1) 选择自重作用下的弹性曲线作为振型曲线（注意：应 在各楼层水平方向分别施加自重m1g、m2g、m3g) 。 于是，可得 (2)求 ： *