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1.4 连续函数(63) 2.7 连续函数的概念 二、函数的间断点 1、四则运算的连续性 2、反函数与复合函数的连续性 3、基本初等函数的连续性 2.9 闭区间上连续函数的性质 1.4.6 小结与思考题3 1.4.6 小结与思考题4 几何解释: 几何解释: M B C A m a b 证 由零点定理, 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。 例9 例10 1、四个定理 最值定理;有界性定理; 零点定理; 介值定理. 注意　1．闭区间；2．连续性．(两点必满足) 2、解题思路 1.直接法: 先利用最值定理,再利用介值定理; 2.辅助函数法: 先作辅助函数,再利用零点定理。 思考题 下述命题是否正确？ 思考题解答 不正确. 例函数 * 1. 函数的增量 一、函数连续性的定义 2. 连续的定义 例1 证 由定义2知 3. 单侧连续 定理 1 例2 解 右连续但不左连续 , 4. 连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 例3 证 1.跳跃间断点 例4 解 2.可去间断点 例5 解 注意: 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如例5中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 3.第二类间断点 例6 解 例7 解 例8 解 定理3 例：Page 91 2.8 连续函数的运算和初等函数的连续性 定理 4 严格单调的连续函数必有严格同单调的连续反函数. 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 定理 5 证 将上两步合起来: 意义: 1.极限符号可以与函数符号互换; 例11 解 例12 解 同理可得 定理 6 注意:定理6是定理5的特殊情况. 例如, 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ ★ ★ ★ 定理7 基本初等函数在其定义域内都是连续的. 定理8 初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续. 注意:　 2. 初等函数求极限的方法代入法. 例如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 在0点的邻域内没有定义. 例13 例 14 解 解 例如, 性质1 (最值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 注意: 1. 若区间是开区间, 定理不一定成立; 2. 若区间内有间断点, 定理不一定成立. 定理2 (有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 证 * * 设函数在内有定义,若当自变量的增量趋向于零时,对应的函数的增量也趋向于零,即 或 , 则称函数在点连续,称为的连续点. 设函数在内有定义,若函数当时的极限存在,且等于它在点处的函数值,即 ，则称函数在点连续. 性质 2(零点存在定理) 设函数在闭区间 上连续，且与异号 (即),那末在开区间内至少有函数的一个零点,即至少有一点，使. 性质 3(介值定理) 设函数在闭区间 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 及 , 那末，对于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得 . “”语言： 如果在上有定义，在内连续，且，那么在内必有零点. 在内连续, 但在内无零点. 证明方程，其中，至少有一个正根，并且它不超过. 若在上连续， 则在上必有 . 设在上连续，,试证：对任意正数至少有一点,使 . 设，，试研究复合函数与的连续性. 在上处处连续 在上处处连续 填空题： 1、__________； 2、___________； 3、函数的连续区间为_________； 4、设确定 __________;___________. 二、设已知在 处连续，试确定和的值. 设函数在处连续，且,已知，试证函数在处也连续. 一、1、2； 2、0； 3、； 4、, 2.5 . 二、.