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第一节 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、 不定积分的性质 河海大学理学院《高等数学》 高 等 数 学 (上) 第四章 不定积分 高等数学（上） 一、原函数与不定积分的概念 定义 1 如果在区间I 内，可导函数 的导函数为 ，即对 ，都有 或 则就称 为 在区间 I 上的原函数. 例如 ，故 问题1：原函数的存在性问题: 原函数 函数 求导 是否存在 定理1(原函数存在定理) 定义在区间 I 上的 连续函数 在 I 上一定有原函数. 即：连续函数必有原函数. 问题2：原函数的惟一性问题: 定理2 如果函数 在区间I上的原函数存在, 则它的任意两个不同的原函数只相差一个常数. 若 为 的原函数，则 的所有 原函数的集合为： 证 若 和 都是 的原函数, （ 为任意常数） 定义2 若 为 在区间 I 上的原函数， 则称 （ 为任意常数） 为 在 I 上的不定积分，记为 积分号 被积函数 被积表达式 称为积分变量 例1 求 . 解 例2 求 . 解 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 ， 根据题意知 由曲线通过点（1，2），故有 . 因而，所求曲线方程为 所以 注（１）Ｃ的几何意义：考虑曲线ｙ＝ｆ（ｘ）， 使得　　　　　 ．则ｆ（ｘ）＝ｘ２＋Ｃ． 这是一簇由一条积分曲线 ｙ＝ｘ２沿纵轴上下平移Ｃ 得到的．在横坐标相同的点 处的切线是平行的． (2) 由不定积分的定义，可知 结论 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 例如 (1) (2) (3) (5) (12) (13) 例4 求积分 . 解 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 是在区间内的原函数. 是求导数的逆运算 函数的原函数的图形称为的积分曲线. （是常数， 一、求下列不定积分： 1、 2、 3、 4、 5、 6、