1多元函数的基本概念.ppt

第十章 多元函数微分学 第一节 多元函数的基本概念 2. 证明 * * 引例1 圆柱体的体积V和它的底半径r, 高h 个确定的值I0=V0/R0与之对应． 之间的关系为 与之对应. , 其中V, r, h是三个 变量, 当变量r, h 在一定范围内(r0, h0) 取 定一对数值 时, 根据给定的关系, V就有 就有一个确定的值 引例2 电路中电流强度I, 电压V和电阻R之 间满足关系 I=V/R, 其中I, V, R是三个变量, 当变量V, R在一定范围内(V0, R0) 取定一 一对数值 时, 根据给定的关系, I就有一 一、二元函数的定义 二、二元函数的极限 三、二元函数的连续 一、二元函数的定义 定义10-1 设D是平面上一个非空点集, f 是一个对应的法则, 如果对每个点(x, y)∈D, 都可由对应法则f 得到唯一的实数z与之对应, 则称z是变量x, y的二元函数, 记为 其中x, y 称为自变量, z 称为因变量. D称为函数f(x, y)的定义域． 对应的函数值的集合 Z={ z| z=f(x, y), (x, y)∈D } 称为函数f(x, y)的值域． 二元函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处的函数值记为 例. 设 求 解: 说明: 1. 二元函数的定义域是一个平面区域; 围成平面区域的边界曲线称为区域的边界; 包含边界的区域称为闭区域; 不包含边界的区域称为开区域; 包含部分边界的区域称为半开区域; 如果一个区域总可以被包含在一个以原点为圆心的圆域内部, 则称此区域为有界区域; 否则为无界区域. 如: 开区域 例如, 二元函数 的定义域为 圆域 2. 二元函数 z = f (x, y), (x, y)?D的图形在空 间是一个曲面; 函数图形为中心在原点的上半球面. 定义域为 图形为 例10-3 求函数 的定义域并画出图形． 解: 要使函数有意义, 应有 即 定义域为无界闭区域: 邻域: 设(x0, y0)是xOy面上的一点, 以(x0, y0)为圆心, 以δ为半径的开圆域: { (x, y)| (x-x0)2+(y-y0)2δ2,δ0 } 称为点(x0, y0)的δ邻域. 二、二元函数的极限 当 的某一邻域内有定义(点 定义10-2 若函数 在点 可以除外), 如果 沿任意路径趋于点 时, 函数 则称A为函数 总无限趋近于一个常数 A, 时的极限, 记为 或 当点 说明： (2) 二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性, 局部保号性, 夹逼准则, 无穷小, 等价无穷小代换等. x y o P0 (1) 定义中 的方式可能是多种多样的, 方向可能任意多, 路径可以千姿百态, 极限存在是指当动点从四面八方以所有可能的方式和路径趋于定点时, 函数都趋于同一常数. 例10-5 求极限 解: 其中 =1, 而 例10-6 证明 不存在． 证: 令 其值随k的不同而变化， 故极限不存在． 确定极限不存在的方法： (1) 令点 沿 趋向于 极限值与 有关, 则 在点 处极限不存在; , 若 (2) 找出两种不同趋近方式, 使 存在, 但两者不相等, 则此时 在点 处极限不存在． 三、二元函数的连续 定义10-3 设函数 在点 的 则称函数 在点 若函数 在区域D内每一点都 在D内连续. 若函数 在点 不连续, 是 的间断点. 某一邻域内有定义. 若 处连续. 连续, 则称 则称点 例10-8 函数 上间断. 在圆周 例10-9 求 解: 因函数 是初等函数, 且点 在该函数的定义域内, 故 二元函数连续的性质: 结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续. ① 多元初等函数的连续性 由常数, 不同自变量的一元基本初等函数经过有限次四则运算及复合运算得到的, 能用一个式子表示的多元函数都是多元初等函数. ② 闭区域上连续函数一定可以取到最大值和最小值. 例. 求函数 的连续域. 解: 解:原式 1. 求 练习题: 在全平面上连续. 证: 为初等函数, 又 故函数在全平面连续. 由夹逼准则得 故连续.