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高中数学精品学案（2.15）函数模型及应用 BY连斌 高中数学精品学案(2.15)函数的模型及应用（1） 【自学目标】 1． 能根据实际问题的情景建立函数模型，结合对函数性质的研究给出问题的解答； 2． 能利用所学的数学知识分析、研究身边的问题，启发引导学生数学地观察世界、感 受世界； 3． 培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力. 【知识要点】 解函数应用题常用函数与方程思想、转化与化归等思想方法，建立恰当的数学模型；能力方面要求注意中逻辑推理嫩里、计算能力、阅读理解能力，在具体的解题过程中主要抓住以下步骤： 第一步：阅读理解、认真审题； 第二步：引进数学符号，建立数学模型； 第三步：利用数学方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果； 第四步：再转化成具体问题作出规范解答. 【预习自测】 例1.某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元。分别写出总成本C（万元）、单位成本P（万元）、销售收入R（万元）、以及利润L（万元）关于总产量x（台）的函数关系式. 例2.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T?Ta??T0?Ta????，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期. 现在一杯用88C热水冲的速溶咖啡，放在24C的房间里，如果咖啡降温到40C需要000?1??2?th20min，那么降温到350C时，需要多长时间？ 1 高中数学精品学案（2.15）函数模型及应用 BY连斌 例3.在经济学中，函数f?x?的边际函数Mf?x?定义为Mf?x??f?x?1??f?x?。某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台x?N?*?的收入函数为R?x??3000x?20x2（单位：元），其成本函数C?x??500x?4000（单位：元），利润是收入与成本之差. （1） 求利润函数P?x?及边际利润函数MP?x?； （2） 利润函数P?x?与边际利润函数MP?x?是否具有相同的最大值？ 例4．如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙o的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形的周长y与腰长x之间的函数式，并写出它的定义域. DB 【课 A.8C B.112C C.58C D.18C 2.某商店卖A、B两种不同的价格的商品，由于A连续两次提价20℅，同时B连续两次降价 2 高中数学精品学案（2.15）函数模型及应用 BY连斌 20℅，结果都以每件23.04元售出这两种商品各一件，则与价格不提不降的情况相比较，商店盈利的情况是（） A.多赚5.92元 B.少赚5.92元 C. 多赚28.92℅ D.盈利相同 3.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路，该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差。如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场进行抽样调查显示，每付出100元的广告费，所得销售额是1000元，问该企业应投入广告费，才能获得最大的广告效应。 4.生产某商品x吨的费用是1000+5x +12xx元，出售这种商品x吨的价格是每吨a?元，10b 其中a、b是常数，若生产的产品都被卖掉，并且当生产量是150吨时利润最大，这时每吨价格是40元，则a、b的值分别是。 【归纳反思】 １.审好题，审题注意取准自变量与函数值，不要盲目取变量，另外，审题时，切不可在一些规定的专用名词上纠缠。 ２.列出函数解析式时，注意实际问题对自变量取值范围的限制。 ３.建立函数模型后，需解答函数模型，解答主要是方程求解，函数性质的讨论，有时用到不等式，因此，对计算能力要求较高，另外，在涉及近似计算时，要注意问题的实际意义，切不可采取简单处理的方法，是用四舍五入法，还是用进位法或取整法，都应视实际情况而定。 【巩固提高】 1.某种菌种在培养过程中每20分钟分裂一次（一个分裂为2个），经过3小时，一个菌种可繁殖为（） A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个 2.某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x年，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y=f（x）的图象大致是（） yyy 100xx0xCD B 3.用活动拉门（总长为a）靠墙围成一矩形场地（一边利用墙），则可以围成的场地的最大 面积为（） A.1a2 B. 1a2 C. 1a2 D. 1a