3-7 广义积分.ppt

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2017-06-15 发布于江西
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3-7 广义积分

* 一、无穷区间上的广义积分二、无界函数的广义积分第7节广义积分下一页上一页返回一、无穷区间上的广义积分例 1　求由曲线 y = e-x， y 轴及 x 轴所围成开口曲边梯形的面积. 解　这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取 b ?[0, + ?)，在有限区间 [0, b] 上，以曲线 y = e- x为曲边的曲边梯形面积为 b y = e-x y x O (0,1) 下一页上一页返回 y = e-x y x b O (0,1) 即当 b ? + ? 时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，下一页上一页返回定义 1　设函数 f (x) 在 [a, + ?)上连续，　　　　　　　　　　　　　　　　　取实数 b a，如果极限则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间 [a, + ?) 上的广义积分，这时也称广义积分收敛，记作即存在，否则称广义积分发散. 下一页上一页返回定义 2　设函数 f (x) 在 (- ?, b] 上连续，　　　　　　　　　　　　　　　　　取实数 a b，如果极限则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间 (- ?, b] 上的广义积分，这时也称广义积分收敛，记作即存在，否则称广义积分发散. 下一页上一页返回定义 3　设函数 f (x) 在 (- ?, + ?) 内连续，　　　　　　　　　　　　　　　　　　且对任意实数 c，如果广义积分则称上面两个广义函数积分之和为 f (x) 在无穷区间 (- ?, + ?) 内的广义积分，这时也称广义积分收敛，记作即都收敛，否则称广义积分发散. 下一页上一页返回若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记则定义 1，2，3 中的广义积分可表示为下一页上一页返回例2 判断解故该广义积分发散. 例3 计算解故该广义积分收敛. 下一页上一页返回例 5　求解例4 判断解由于当 x ? + ? 时，sin x 没有极限，所以广义积分发散 . 下一页上一页返回例6　证明广义积分当 p 1 时，收敛；当 p ≤ 1 时，发散 . 证 p = 1 时，则当 p 1 时，综合上述，该广义积分收敛. 当 p ≤ 1 时，该广义积分发散. p ? 1 时，则下一页上一页返回二、无界函数的广义积分定义 4　设函数 f (x) 在区间 (a, b] 上连续，取 e 0 ，如果极限则称此极限值为函数 f (x) 在区间 (a, b] 上的广义积分，这时也称广义积分收敛，否则称广义积分发散. 且记作即存在，下一页上一页返回定义 5　设函数 f (x) 在区间 [a, b) 上连续，取 e 0 ，如果极限则称此极限值为函数 f (x) 在区间 [a, b) 上的广义积分. 这时也称广义积分收敛，否则称广义积分发散. 且即存在，下一页上一页返回定义 6　设函数 f (x) 在 [a, b]上除点 c ? (a, b) 外连续，如果下面两个广义积分则称这两个广义积分之和为函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的广义积分，这时也称广义积分收敛，否则，称广义积分发散. 记作即都收敛，下一页上一页返回若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则定义 4，5，6 中的广义积分可表示为下一页上一页返回例7　计算解故该广义积分收敛. 例8　计算解由可知，广义积分和都发散，故该广义积分发散. 下一页上一页返回 *