43、平面向量的坐标表示及分解定理.doc

【教材解读】 向量是一种具有几何和代数双重身份的数学概念，具有完整的运算体系和良好的分析方法和结构。它有非常直观的几何意义，是数与形的完美结合。一方面，它可以把几何问题通过坐标表示转化为代数运算；另一方面，它也可以结合图形对向量的有关问题进行分析求解，向量在物理学等领域中有着重要的作用，向量是解决数学问题和实际问题的有力工具。 本章主要内容有： 1．向量的坐标表示。通过引入向量的坐标表示，使向量的表示及运算代数化，将数与形紧密结合起来，这样做，很多几何问题的证明就可以转化为我们所熟知的数量的运算。 2．平面向量的分解定理。同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，而且这种表示是唯一的。要求学生理解这一定理并会应用于问题解决。 3．向量的数量积。这是与数乘向量有很大区别的运算，学生是通过物理中的“功”的实例来理解向量的数量积的，它有着较为广泛的应用。要注意数量积与实数的乘积相类比，进一步深化向量与数量的概念、运算及解决问题方法的异同。 在复习《平面向量的坐标表示》这一章时，必须重视基本概念、基本运算的复习巩固。对概念的理解要做到深刻到位，不留盲点；运算要准确，如对向量的平行、垂直的判断及相应的充要条件，要熟练掌握。平面向量的数量积是重点内容，在复习中不但要掌握平面向量的几何形式的运算法则及运算律，更要熟练掌握坐标形式的运算，尤其是两个向量平行与垂直的充要条件在解题中要灵活运用，以提高综合应用知识及分析问题和解决问题的能力。 【知识结构】 向量的加减法 向量的几何表示 向量的模 向量的相等 平面向量 向量的基本概念 负向量 向量的平行 向量的夹角 位置向量 单位向量 向量的坐标表示 向量的运算 数乘向量 向量的数量积 向量平行的充要条件 向量垂直的充要条件 定比分点坐标公式 向量夹角公式 向量的投影 二、平面向量的坐标表示及分解定理 【教学目标】 1．掌握平面向量的坐标表示法，会用坐标法进行加减法及数乘向量的运算． 2．理解平面向量的分解定理，掌握三点共线的判断方法． 3．掌握定比分点的坐标公式，会利用向量坐标讨论两个向量平行的条件． 【教学重点】 平面向量的坐标运算，定比分点的坐标公式，平面向量的分解定理． 【教学难点】 1．定比分点的坐标公式及应用． 2．平面向量的分解定理及应用． 【教学过程】 一．知识整理 1．位置向量． 2．平面向量的坐标表示，加减法运算法则． 3．定比分点公式． 4．平面向量的分解定理，向量的基． 5．向量平行条件的坐标表示． 二．例题解析 【属性】高三，平面向量，向量的坐标表示与运算，解答题，易，运算 【题目】 ?????（1）已知|a|?10，b?(?3,4)，且a∥b，求a． （2）已知OP?(cos?,sin?)，OQ?(1?sin?,1?cos?)（0????），求|PQ|的取值范围． 【解答】 解；（1）设a?(x,y)，则x2?y2?100，且?3y?4x，解得x?6，y??8或x??6， ??y?8，所以a?(6,?8)或a?(?6,8)． ? （2）PQ?OQ?OP?(1?sin??cos?,1?cos??sin?)， 222， |PQ|?(1?sin??cos?)?(1?cos??sin?)?4?2sin2?（0???2?）所以|PQ|?[2,6]． 【属性】高三，平面向量，定比分点的坐标公式，解答题，中，运算 【题目】 已知P1、P2、P3三点在同一条直线上，P1(?2,3)、P2(0,1)，若P1P2?2PP2，求点P的坐标． 【解答】 解法一：设P(x,y)，由P1P2?2PP2得，P1P2??2P2P，由定比分点坐标公式得， ?2?(?2)x?0??1?(?2)?x??1?，解得，所以点P的坐标为(?1,2)． ??y?2??1?3?(?2)y ?1?(?2)? 解法二：由P1P2?2PP2知P1P2与PP2同向，则P与P1在P2的同侧，又|P1P2|?2|PP2|， ?2?0?x???1??2所以P为线段P1P2的中点，设P(x,y)，则?，点P的坐标为(?1,2)． ?y?3?1?2?2? 【属性】高三，平面向量，向量的坐标表示与运算，解答题，中，运算 【题目】 ????2设a?(6,3m)，b?(2,x?2x)，如果存在实数x，使得a∥b，求实数m的取值范围． 【解答】 ??解：由a∥b得，6(x2?2x)?3m?2?0，即x2?2x?m?0，由题意，该方程有实数 解，所以△?4?4m?0，m??1．即m的取值范围是[?1,??)． 【属性】高三，平面向量，向量的线性分解，解答题，中，分析问题解决问题 【题目】 如图，已知|OA|?2，|OB|?1，|OC|?4，OA与OB的夹角为120?，OA与OC的