75 圆的方程.doc

7．5 圆的方程 四川省武胜烈面中学校（638409） 邓 刚 考点透视 掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程），半径是r=. 这个方程体现的特点是： ①x2、y2的系数相等且不为零。 ②没xy有项。 ③当0时，方程表示圆；当=0时，方程表示一个点（）；当0时，方程不表示任何图形。 圆的标准方程与一般方程的关系 圆的标准方程明显的反映出圆的圆心和半径的特征，而一般方程体现的是圆方程作为一个二次方程的代数的特点。所以在使用时各有千秋。 两个方程都含有三个参数，故要三个独立的条件才能确定圆的方程。通常用待定系数法来求解。 若已知条件与圆心或半径有直接的关系时，往往选用圆的标准方程，若这些条件与圆心或半径的关系不是很密切时，通常选用圆的一般方程。通常选用圆的标准方程时多些。 两个方程也能互化。把圆的标准方程展开就成了圆的一般方程。而把圆的一般方程配方就成为了圆的标准方程。 圆的参数方程 若圆的圆心为（a,b），半径为r，则圆的参数方程是。 特别的，当圆心在原点时，圆的参数方程是。 圆的参数方程实质是一种三角换元，把代数问题转化为三角问题，这样可以大大简化计算量。 典例精析 例1、设A（－c，0）、B（c，0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离之比这定值a（a0），求P点的轨迹。 分析：可由“五步法”直接求轨迹。 解：设点P坐标为，由已知有，故有 化简整理有。 当时，方程化为。 当时，方程化为。 故当时，点P的轨迹为y轴；当时，点P的轨迹是以点(,0)为圆心，以||为半径的圆。 点评：本题主要考查了求曲线方程的基本方法、圆的方程等基本知识，简单的分类讨论和基本的计算能力也得到了体现。 例2、设圆C满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段弧长之比为3：1的弧；③圆心到直线x=2y的距离最小；求圆C方程。 分析：要求圆C的方程，关键在于找出圆心和半径的有关关系来解决。故要把题目的条件转化为圆心和半径的方程来处理。 解：设圆心C（a，b），半径为r，由条件①，此时圆心到y轴的距离为|a|，故有；由条件②知，x轴截圆C的劣弧所对的圆心角为，此时圆心到x轴的距离为|b|，故有|b|=,即，从而有。 由条件③知，圆心C到直线的距离为d=，即有 当时取“=”，故当时，d有最小值。此时有解之有或，。故所求圆C的方程是 或。 点评：本题所给的三个条件要灵活的使用，他们涉及到了平面几何知识、代数知识等，要能综合运用知识来解决问题。第三个条件还可用判别式法或三角换元法处理。 例3、已知实数x、y满足，求①若恒成立，则m的取值范围；②的最大值和最小值；③的最大值和最小值。 分析：①中可用数形结合法或圆的参数方程； ②用数形结合法； ③可用距离的思想、参数法、圆的方程等方法。 解：①要使恒成立，即，故有，可令。 法一：圆的参数方程是，故有 ，即=，故有 法二：因直线与圆应当有公共点，所以当直线与圆相切时，可以取到最大或最小值。故有，解之有，。所以。 ②令，则有，由题意，直线与圆应有公共点，如图，当直线与圆在第一象限相切时，的值最大。此时|PC|=，|OC|=2，故有，而是锐角，故=，所以，即的最大值是，根据图形的对称性知，的最小值是。 （还可用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径来计算。） ③法一：令，所以可看成是圆上的点到原点 的距离的平方。而圆心（2，0）到原点（0，0）的距离是2，故 ，所以的最大值和最小值分别是和。 法二：圆的参数方程是故有=（）2+（）2 =，所以的最大值和最小值分别是和。 点评：本题从多个方面考查了圆的有关知识，如圆的三个方程形式的转化、直线与圆相切的判定、圆的参数方程的应用和数形结合思想的渗透。 夯实基础 1、以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程为 （A） （B） （C） （D） 解析：r＝＝3，故选C 2、圆(x?2)2?y2?5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) (A) (x?2)2?y2?5； (B) x2?(y?2)2?5； (C) (x?2)2?(y?2)2?5； (D) x2?(y?2)2?5。 解析：已知圆的圆心(-2,0)关于原点对称的对称点是(2,0),故这就是所求的圆的圆心,且半径相同,故选A 3、方程表示圆，则的取值范围是 （ ） 解析：由已知有,解之有,故选D. 4、直线与圆在第一象限内有两个不同交点，则的取值范围是 （ ） 解析：由图形易知选B 已知点是圆内一点，直线是以为 中点的弦所在的直线，直线的方程是，那么（ ） 且与圆相切 且与圆相切 且与圆相离 且与圆相离 解析：由已知